Помогите с рядами

[warezhunter_]

gris в сообщении #260072 писал(а):

warezhunter_ , я имел в виду, что

$c_n=\dfrac{3n-5}{5n^3+4}$
$c_{n+1}=\dfrac{3(n+1)-5}{5(n+1)^3+4}$
$c_{n+2}=\dfrac{3(n+2)-5}{5(n+2)^3+4}$

Хотя это не влияет на итог

Ряд из теоремы Лейбница выглядит так:
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}c_n$
там же $(-1)^ {n+1}$, а у меня $(-1)^n$, получается чтобы получить $c_n$, надо везде $n$на $n+1$ надо заменить.
Ну так то да, на результат не влияет.
Раскрыл скобки, получил следующее:
$\frac{15n(n+1)^3+12n-25(n+1)^3-15n^3(n+1)-12(n+1)+25n^3}{25n^3(n+1)^3+20n^3+20(n+1)^3+16}$
А что с этим делать дальше?

[gris]

Знаменатель больше нуля, а в числителе четвёртая степень сокращается, а коэффициент при третьей равен 30, что больше нуля, что нам и нужно.

[Sintanial]

Кстати можно было проще сделать. Не сравнивая последующие члены с предидущем.
Есть эквивалентная формулировка признака Лейбница: Если $c_n$ монотонно стремится к нулю начиная с некоторого номера то ряд сходится.
Ну из пределов видно что ряд стремится к 0. Осталось показать монотонность
Монотонность исследуется с помощью производных. Ну тут вроде и без производной явно видно что знаменатель монотонно возрастает, так же как и числитель монотонно возрастает начиная с n=2. Тогда получается что и вся дробь будет монотонна. Значит признак Лейбница выполняется

-- Пн ноя 09, 2009 17:43:01 --

эмм простите немного ошибся..... если найти производную то числитель убывает монотонно начиная с n=3 а знаменатель возрастает монотонно. То вся функция будет монотонно убывать.... Ну впринцепи это не сильно важно - главное что она монотонная и стремится к 0 =)

[gris]

Sintanial писал(а):

впринцепи

В какой цепи? Ну Вы даёте! Три ошибки в одном слове не часто увидишь.
Ваша идея насчёт производной неплоха, но нужно дифференцировать целиком дробь, а не числитель и знаменатель отдельно. И как это Вы увидели, что числитель убывает?
А из возрастания и числителя, и знаменателя ничего не следует.

[Sintanial]

=) простите за ошибку, спешил, не подумал.
Я продифференцировал целиком дробь у себя в тетради. Получил вот такую штуку $\frac {-30n^3+75n^2+14}{(5n^3+4)^2}$ И отсюда уже утверждал, что начиная с некоторого n а именно с n=3 числитель убывает =)

[gris]

Попытка не засчитана..
Важно не то, что он убывает, а то, что он отрицателен.

[ewert]

Sintanial в сообщении #260289 писал(а):

И отсюда уже утверждал, что начиная с некоторого n а именно с n=3 числитель убывает =)

Не знаю, что Вы там надифференцировали, но дело вот в чём. Если дробь стремится к нулю -- то, начиная с некоторого номера, она быть монотонной просто обязана, и доказывать это каждый раз нет никакой необходимости. Просто потому, что приравнивание производной нулю порождает некоторое алгебраическое уравнение, количество корней которого (не более чем) конечно. Следовательно, достаточно даолеко производная заведомо сохраняет знак.

[Sintanial]

хмм так значит что для признака Лейбница нужно просто найти придел ? И если он равен 0 то признак выполняется ? =)

[ewert]

Для алгебраических выражений -- безусловно. Только надо уметь это формально обосновать.

[warezhunter_]

Не могу решить ряд по признаку Гаусса:
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2n+5}{4n^3-1}$
Предел по даламберу и коши равен 1.
$a_n=\dfrac{2n+5}{4n^3-1}$
$a_{n+1}=\dfrac{2(n+1)+5}{4(n+1)^3-1}$
Потом делим:
$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$
Получаем дробь:
$\frac{8n^4+44n^3+60n^2+90n+15}{8n^4+28n^3-2n-7}$
А потом что нужно делать? Если разложить дробь на простейшие, то как это сделать, в каком виде?

[gris]

теперь надо целую часть выделить. ну мы знаем, что единица.
вычитайте из дроби 1 и смотрите

[ewert]

А что, требуют именно по Гауссу? Вообще-то нормальные люди применяют в таких случаях интегральный признак (плюс признак сравнения, конечно).

(P.S. там в последнем выражении коэффициенты при кубиках какие-то подозрительные)

[warezhunter_]

Не не обязательно по Гауссу, просто по Даламберу и Коши предел равен 1, а по интегральному признаку интеграл не получается, и я там ошибся, ряд должен выглядеть так:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2n+5}{4n^3-1}$
То есть исправил $n=1$
И в дроби я возможно ошибся где нибудь.

[ewert]

В любом случае (при любом признаке): первое, что надо сделать -- упростить задачу, заменив выражение под знаком суммы на эквивалентное.

[gris]

Да и Гаусс рулит, хотя применять признаки для дробно-алгебраических выражений действительно ни к чему. Но тем не менее, чтобы понять сам признак.

$\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{(2n+5)(4(n+1)^3-1)}{(4n^3-1)(2n+7)}=1+\dfrac{(2n+5)(4(n+1)^3-1)}{(4n^3-1)(2n+7)}-1=$

$=1+\dfrac{(2n+5)(4(n+1)^3-1)-(4n^3-1)(2n+7)}{(4n^3-1)(2n+7)}=1+\dfrac{8n^4-8n^4+24n^3+20n^3-28n^3+\cdots}{8n^4+\cdots}=$

$=1+\dfrac{16n^3+\cdots}{8n^4+\cdots}=1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{O(1)}{n^2}$

Так как мы имеем известные коэффициенты $\lambda=1$ и $\mu=2>1$, то ряд сходится абсолютно