Несколько задач (числа, геометрия)

[EtCetera]

Maslov

Maslov в сообщении #259248 писал(а):

Например, посмотреть, чему равно это выражение при $n=1$ и какой знак имеет его производная при $n > 1$.

А не проще ли помянуть добрым словом Коши и его неравенство?

[Maslov]

Но можно и без всякого дифференцирования - просто посчитать, чему равно $n+\frac{1}{n}-2$

-- Пт ноя 06, 2009 22:10:09 --

EtCetera в сообщении #259249 писал(а):

А не проще ли помянуть добрым словом Коши и его неравенство?

Согласен - если помянуть, то ещё проще

[AKM]

d0k в сообщении #259241 писал(а):

А как доказать, что $n+\frac{1}{n}$ ,больше 2? При $n>1$.

Алексей К. в сообщении #259207 писал(а):

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим Вам в помощь.

$$\dfrac{n+\frac1n}{\color{red}2}\ge\sqrt[{\color{red}2}\:]{n\cdot\frac1n}$$

Альтернатива --- подсказка Maslovа. Посчитайте, чему равно $n+\frac{1}{n}-2$, понравится.

[ewert]

Вообще-то то, что $n+{1\over n}\geqslant2$ -- должно входить в подкорку. Почему -- вопрос восемнадцатый; потому ли, что полный квадрат, или что производная -- неважно. Это один из немногих в математике фактов, которые следует всё-таки зазубрить.

[VAL]

d0k в сообщении #259241 писал(а):

А как доказать, что $n+\frac{1}{n}$ ,больше 2? При $n>1$.

Точно так же, как в 4-й задачке доказывается, что при $a>1 \ \ \ \ a+\frac1a > 2$. Там ведь у Вас вопросов не возникло

-- 07 ноя 2009, 00:30 --

ewert в сообщении #259260 писал(а):

Вообще-то то, что $n+{1\over n}\geqslant2$ -- должно входить в подкорку.

С этим согласен.

Цитата:

Это один из немногих в математике фактов, которые следует всё-таки зазубрить.

А с этим - нет!

[ewert]

ну тут явное противоречие

[Алексей К.]

Вообще то я написал это ---

Алексей К. в сообщении #259207 писал(а):

И это выполнено и при $n=\frac15$, и при $n=\frac51$.

дабы как-то помочь вхождению данной формулы в подкорку (ну, Вы согласны, оно там не отродясь, и этому надо как-то поспособствовать).
А насчёт противоречий --- подозреваю, они лежат в интервале "один из НЕмногих фактов" --- "один из многих фактов". Ну или в отрезке.

[VAL]

ewert в сообщении #259262 писал(а):

ну тут явное противоречие

Между чем и чем? Не вижу никакого противоречия!

[nn910]

nn910 в сообщении #259018 писал(а):

d0k в сообщении #258601 писал(а):

Цитата:

Подсчет углов приводит к выводу что треугольник равнобедренный с А=С=72, В=36

Непонял каким образом можно получить значения углов. Но если исходить из того что A=C=72, B=36, то доказать равенство AC и KB у меня получилось. Осталось понять как найти A=C=72, B=36

Ну значит чертеж у нас одинаковый.$\angle BKL+\angle LKC=\angle BKC=\angle CLK= \angle BKL + \angle ABC=\angle BKL +\angle ACK$ соответственно по:условию, свойству внешнего угла; снова по условию.
Отсюда $\angle LKC= \angle ACK$ и $KL||AC$
Тогда AK=KL и треугольники CAK и BKL равны по стороне и двум углам. Откуда AC=BK, ЧТД

Несмотря на то что задача решена двумя способами(еще Sasha2), хочу отметить:неверно, что углы 36 и 2 по 72. Верно только,что$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ При этом треугольник может быть любой, например с прямым углом А,условие и утверждение задачи останутся верными.
Мое первое сообщение было неудачной попыткой не сообщать всего решения, но мне показалось,что углы треугольника АВС определяются условием однозначно,поэтому так написал. d0k,правильно,что у Вас не получилось это доказать.
Sasha2

Цитата:

1) Угол AKC равен углу ALC,

Наверное опечатка:АКС=BLK, иначе тоже получается равнобедренный, остальное у Вас верно.

[Ktina]

VAL в сообщении #258455 писал(а):

d0k в сообщении #258423 писал(а):

1) В ряд стоит 50 человек, все разного роста. Ровно 15 из них выше своего левого соседа. Сколько человек выше своего правого соседа? Приведите все варианты и докажите, что других нет.

У меня ответ получился 34.

И у меня. Тех, которые больше обоих соседей на 1 больше, чем тех, которые меньше обоих (или единственного) соседа.

Пишу и вижу, как получаю нагоняй за некропостинг.
Можно иначе решить.
У нас всего 49 интервалов. Назовём интервал плюсовым, если правый сосед выше и минусовым в противном случае. Так как все разного роста, каждый интервал будет либо плюсовым, либо минусовым. Тогда у нас ровно 15 плюсовых интервалов и ровно 49-15=34 минусовых. Кстати, если бы они стояли не в ряд, а в круг, было бы 35.