уравнение окружности

[Ashley]

Скажите, а как проще всего провести окружность через три точки?
теги: комплексный анализ

[ИСН]

Центр описанной окружности лежит на пересечении знаете чего?

[Ashley]

ИСН, это приводит меня в панику. Мне предсоит провести эту процедуру десяток раз

[Xaositect]

Ashley в сообщении #257647 писал(а):

Мне предсоит провести эту процедуру десяток раз

Вам предстоит один раз вывести формулу и десяток раз ее применить. В последнем Вам может помочь калькулятор.

[arseniiv]

Да можно же не искать все эти элементы треугольника, а, действительно, написать уравнение окружности три раза для каждой точки и всё выразить...

[AKM]

Уравнение окружности $F(x,y;a,b,r)=0$ содержит три параметра. Подставив в него координаты трёх точек $x_i,y_i$, получите систему их 3-х уравнений для определения этих трёх неизвестных параметров.

[Профессор Снэйп]

Ashley в сообщении #257635 писал(а):

Скажите, а как проще всего провести окружность через три точки?
теги: комплексный анализ

Не, ну если комплексный анализ надо использовать...

Дробно-линейное преобразование

$$ z \mapsto \frac{az + b}{cz + d},\,\,\, ad \neq bc $$

переводит обобщённые окружности (т. е. прямые и окружности) в обобщённые окружности.

Пусть теперь у Вас есть точки $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$ и Вам надо провести через них окружность. Потребуйте, чтобы при дробно-линейном преобразовании $-1$ переходило в $z_1$, $0$ в $z_2$ и $1$ в $z_3$. Найдёте коэффициенты $a$, $b$, $c$ и $d$, получите преобразование, переводящее действительную прямую в интересующую Вас окружность. Отсюда --- параметрическое уравнение окружности. Правда, не сказать, что у него будет нормальный человеческий вид... По моему, так лучше без комплексного анализа

-- Пн ноя 02, 2009 21:55:30 --

Проще всего, наверное, так. Фиксируете две своих точки, пишите параметрическое уравнения серединного перпендикуляра для соединяющего их отрезка, затем подбираете параметр так, чтобы расстояния до всех трёх точек были равны.

Напишем всё это, что ли, на комплексной плоскости. Для точек $z_1$ и $z_2$ прямая, проходящая через середину отрезка $[z_1,z_2]$, задаётся параметрическим уравнением

$$ f(t) = \frac{z_1+z_2}{2} + i(z_1-z_2)t,\,\,\, t \in \mathbb{R} $$

Теперь ищем $t \in \mathbb{R}$, для которого $|f(t)-z_3|^2 = |f(t)-z_1|^2$. Не знаю, насколько просто будут выглядеть дальнейшие выкладки, лень выписывать...

[AKM]

Профессор Снэйп в сообщении #257653 писал(а):

Проще всего, наверное, так.

Ещё проще, наверное, спросить у автора: Вам действительно нужно сюда впарить комплексный анализ, или Вы его сюда наугад приплели, от фонаря, заставив тем самым Профессора вытаскивать пушку и палить из неё по воробушкам?

[Ashley]

Цитата:

Не, ну если комплексный анализ надо использовать...

Знаете, суть задачек вообще не совсем в этом, так что мне можно хоть угадывать каждый раз эту окружность!.. А вот параметрическое уравнение выписать и правда можно безо всякой подготовки и выкладок! Это славно, спасибо! Хотя может показаться преподавателю халтурой, да

[Профессор Снэйп]

Ashley в сообщении #257663 писал(а):

А вот параметрическое уравнение выписать и правда можно безо всякой подготовки и выкладок!

Как это без выкладок? Без выкладок не получится!

[Ashley]

$f(z) = \frac{z-z_1}{z-z_3}\frac{z_2-z_3}{z_2-z_1}$.
$f^{-1}(\overline{\mathbb{R}})$ можно сразу писать в ответ!

[Профессор Снэйп]

Ashley в сообщении #257669 писал(а):

$f^{-1}(\mathbb{R})$ можно сразу писать в ответ!

Где только люди халяву не находят!

-- Пн ноя 02, 2009 22:28:58 --

P. S. Кстати, ответ получается не совсем верный: $z_3 \not\in f^{-1}(\mathbb{R})$

[Ashley]

wait
T_T
параметрическое уравнение можно выписать вообще почти не решая задачу.

Это будет просто ад с вертолетами, но наверное деваться некуда.

[AKM]

Ashley в сообщении #257673 писал(а):

wait
параметрическое уравнение можно выписать вообще не решая задачу...

Означает ли этот wait, что мы скоро увидим параметрическое уравнение, выписанное вообще не решая задачу?

[Профессор Снэйп]

Ashley в сообщении #257673 писал(а):

Это будет просто ад с вертолетами, но наверное деваться некуда.

Думаю, довольно быстро руку набьёте

Вам каждый раз надо искать центр окружности, то есть точку пересечения двух серединных перпендикуляров. Один перпендикуляр пишете в стандартном виде ($Ax + By + C = 0$), другой в параметрическом ($x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$), точка пересечения при таком представлении находится влёт...

Что Вас так мучают? Поди, прогуливали много