задача на сохранение импульса

[boryn]

Дайте пожалуйста подсказку к задаче.
имеем два шарика с массами $m$ и $M$, $m < M$. Маленький шарик лежит на большом. Мы подымаем эту систему из шариков и отпускаем. За мгновение до удара о землю скорость системы равна $v_0$. Найти скорость маленького шарика после удара. Все соударения полностью упругие.

Я думаю что надо использовать законы сохранения импульса и энергий. Имею
$(m+M)v_0=mv_1+Mu_1$
$(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2$
из этих уравнений получаю $v_1=v_0$ но это не возможно тоесть мои
уравнения не описывают задачю. За любую помошь буду очень благодарен

[meduza]

boryn в сообщении #257400 писал(а):

но это не возможно

почему?

[boryn]

meduza в сообщении #257414 писал(а):

boryn в сообщении #257400 писал(а):

но это не возможно

почему?

потому что скорость должна быть направлена в другую строну. Должно быть
$v_1=-v_0$ есил модуль скорости остаеться прежним. отсюда также
выходит что и скорость большого мяча равна v_0 тоесть мячи как двигались вместе так и после удара будут также вместье. Но на самом деле это не так. Маленькия мяч получит большой импульс и получит большую скорость а большой получит малый импульс. Тоесть сила удара перейдет малому мячу через большой как в колыбеле ньютона.

[jetyb]

boryn в сообщении #257427 писал(а):

потому что скорость должна быть направлена в другую строну. Должно быть
v_1=-v_0

А в этом и весь прикол полностью упругого столкновения с неподвижной землей. Один шарик, ударившись со скоростью $v$ об землю, меняет ее на противоположную. Но по модулю импульс сохраняется.

Так что оба уравнения у Вас составлены правильно. Ошибка где-то в математике.
У Вас скорость $v_1$ не зависит от масс тел $M$ и $m$. Возможно Вы решали задачу при $M=m$, но точно, не глядя на решение системы, я не найду ошибку.

[boryn]

Спасибо за ответ. Снижу привожу решение системы уравнений.
v_1 скорость малого мяча u_1 скорость большого после удара о землю
(m+M)v_0=mv_1+Mu_1
(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2
Переписываю первое и второе уравнения так
(m+M)v_0=mv_1+Mu_1
\Leftrightarrow m(v_0-v_1)=M(u_1 -v_0)
(m+M)v_0^2=mv_1^2+Mu_1^2
\Leftrightarrow m(v_0^2-v_1^2)=M(u_1^2 -v_0^2)
Теперь делю первое на второе. Получяю

\Leftrightarrow \frac{v_0-v_1}{v_0^2-v_1^2}=\frac{v_1-v_0}{u_1^2-v_0^2}
\Leftrightarrow \frac{1}{v_0+v_1}=\frac{1}{u_1+v_0}
\Leftrightarrow v_0+v_1=u_1+v_0
\Leftrightarrow v_1=u_1
Подставляю теперь результат в урвнение сохранения импульса и получяю.
(m+M)v_0=mv_1+Mv_1
v_0=v_1
Это мне кажетсо странным во первых знака проэкции скорости не тот. Во вторых если провести опыт с баскетбольным мячом и пинпонговым мячом( или тенисным) то после удара скорость пинпонгового будет на мног больше чем баскетбольного. Тоесть не может быть v_1=u_1

[meduza]

boryn
Надо еще учитывать импульс стены. Он как раз необходим, чтобы "повернуть" скорость. Поскольку столкновение абсолютно упругое, то энергия не теряется и шары после отражения будут лететь с такой же по модулю скоростью, какая у них была до удара. При столкновении под прямым углом, скорость изменится на противоположную, а значит стена получит импульс $2(m+M)\vec v_0$. (Если вы не поняли почему так, то нарисуйте векторную диаграммку импульсов). Короче, закон сохранения импульса (в векторной форме) будет выглядеть так:

$$(m+M)\vec v_0=m \vec v_1 + M \vec u_1 + 2(m+M)\vec v_0 .$$

Закон сохранения энергии у вас верно записан.
Из системы находятся скорости $\vec v_1 = \vec u_1 = -\vec v_0$. Т. е. шары как летели вместе до удара, так и будут лететь вместе после.

boryn в сообщении #257637 писал(а):

Во вторых если провести опыт с баскетбольным мячом и пинпонговым мячом( или тенисным) то после удара скорость пинпонгового будет на мног больше чем баскетбольного.

Если столкновение абсолютно упругое, и скорости обоих шаров до столкновения равны, то они будут равны и после столкновения.

[boryn]

to meduza
Малый мяч лежит на большом. И это система ударяеться о землю. После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось 2(M+m)v_0. Если я правильно понимаю закон сохрания количества движения то
в левой чясти равенства должны быть количества движения тел
до ударения в правой части после вот так
M_{earth}\vec 0 + (M+m)\vec v_0=M_{earth}\vec 0 + M\vec u_1 + m \vec v_1. Или это применимо только для замкнутой системы из двух тел

meduza в сообщении #257693 писал(а):

Если столкновение абсолютно упругое, и скорости обоих шаров до столкновения равны, то они будут равны и после столкновения.

да но надо учитевать что шары лежат друг на друге и при ударе энергия передается от большого мяча малому как в колыбеле нювтона. Из опыта видно что скорости не будут одинаковыми.

[meduza]

boryn в сообщении #257699 писал(а):

После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось $2(M+m)v_0$

Я же просил нарисовать векторную диаграмму. Ладно нарисую сам (для простоты рассмотрю упрощенный случай -- абсолютно упругое столкновения шара с землей):

Поскольку столкновение абсолютно упругое, то $\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mv'^2}2 \iff v=v'$, т. е. модуль скорости не меняется. Меняется только направление на противоположное, это значит $\vec p=\vec p' + \vec p_{\text{з}}$, чтобы закон сохранения импульса выполнялся, нужно чтобы импульс земли $\vec p_{\text{з}}=2\vec p$. (При столкновении не под прямым углом, там появяться (ко)синусы и земле передастся меньший импульс -- довольно баянистая задача из многих задачников). То, что скорость земли можно считать равной 0 до и после столкновения, а массу можно считать бесконечно большой, вообще тут ни при чем, нам важен лишь импульс -- их произведение, а оно вообще-то может быть (и будет в данном случае) конечным числом.

boryn в сообщении #257699 писал(а):

да но надо учитевать что шары лежат друг на друге и при ударе энергия передается от большого мяча малому как в колыбеле нювтона.

Колыбель Ньютона -- немного другое, там происходит так называемы обмен скоростей (импульсов). В нашем же случае, оба шара после столкновения получат одинаковые скорости (как по модулю, так и направлению), и поэтому не будет никаких причин им разоединиться. И почему вы так этого хотите, вам не нравится их привязанность друг к другу

boryn в сообщении #257699 писал(а):

Из опыта видно что скорости не будут одинаковыми.

Вы его проводили? Интересно, как вым удалось достигнуть асболютно упругого столкновения.

[EtCetera]

boryn
Скорости после удара будут разными (иначе зачем бы потребовались массы?...). Для наглядности можно представить себе шарики массивными пружинками. Достаточно очевидно, что при ударе о землю большая пружинка просто "выстрелит" маленькой.
Представим, что между шариками есть тончайший зазор. Тогда будет по меньшей мере 2 (о большем количестве - подробности ниже) столкновения:
1. Столкновение большого шара с землей с изменением направления его импульса.
2. Столкновение большого шара с маленьким шаром.
Для второго случая закон сохранения импульса в проекциях на направленную вертикально вверх ось будет записываться следующим образом:
$Mv_0-mv_0=-Mu+mv$
(закон сохранения энергии будет таким же, как Вы записали).
Отсюда (путем решения квадратного уравнения) находим $v$:
$v=\dfrac{3M-m}{m+M}v_0$
P.S. Если на секундочку представить, что сверху может лежать шарик большей массы, то получается гораздо более сложная и интересная задача с повторными "достолкновениями".

meduza
По-моему, Вы слегка пленены тем обстоятельством, что один шарик отскакивает с той же скоростью. В этой задаче два разных шарика. Впрочем, может быть, это как раз я ошибаюсь?

[meduza]

EtCetera в сообщении #257710 писал(а):

Представим, что между шариками есть тончайший зазор.

Если уж рассматривать идеальный случай (в частности, без потери энергии и абсолютно одинаковой скоростью обоих шаров непосредственно перед столкновением), то и зазора между шарами быть не должно. В реалиях, разумеется, может пойти всё по-другому.

EtCetera в сообщении #257710 писал(а):

По-моему, Вы слегка пленены тем обстоятельством, что один шарик отскакивает с той же скоростью. В этой задаче два разных шарика.

Так говорят уравнения.

[EtCetera]

meduza
Устремляя зазор к нулю... Строго говоря, я понимаю, что в идеальном случае дело может обстоять несколько, скажем так, нефизично, но когда при зазоре в 1 мм, 1 мк, 1нм... - маленький шарик "выстреливается", а при зазоре в 0 мм (мк, нм) - нет, у меня просто не хватает воображения. "Не верю" $\copyright$. Да, в задачах про злополучные шары, которые кладут в/достают из бесконечной корзины (?), в математике именно так и происходит. Но здесь не математика, здесь физика.
P.S. Впрочем, в своем посте я указал еще один способ, как можно взглянуть на ситуацию. Решить задачу для массивных пружинок (она будет посложнее, чем для шариков), а затем в ответе устремить коэффициент жесткости пружин к $\infty$.
P.P.S. Все думаю, какой еще аргумент придумать. Вот, кажется, что-то подходящее: практически во всех школьных/вузовских задачах на классическую механику (возможно, эта задача как раз и является тем редким, но ценным исключением) "абсолютно" упругие шарики можно заменить на "очень" упругие (с получением небольшой погрешности). Вполне вероятно, что к этой задаче это не относится.

[boryn]

У нас проводили опыт. Поставили бутылку на баскетбольный мяч горлышком вниз так что бутылка была в равновесии(не падала). Потом выпустили мяч из рук. После удара об пол бутылка подскачила примерно на 3 метра а мяч поднялся на меньшую высоту чем если бы мы отпускали мяч без бутылки. То-есть происходит примерно то что написал etCentre в своем сообщение. И заодно решил задачу. Примного благодарен всем за советы.

Извените meduza но все равно не понимаю нащет импульсов. Надо будет в учебниках почитать. Я это дело понимаю так. В замкнутой системе из трех тел два мячя и земля у каждой есть свой импульс p_i если мы суммируем их то получим полный импульс системы p_r. После удара полный
импульс такой же как и до удара.

[PapaKarlo]

boryn в сообщении #257740 писал(а):

все равно не понимаю нащет импульсов.

Если Вы имеете в виду

meduza в сообщении #257708 писал(а):

boryn в сообщении #257699 писал(а):

После удара стенка(земля) остается не подвижной откуда взялось $2(M+m)v_0$

...Поскольку столкновение абсолютно упругое, то $\dfrac{mv^2}2=\dfrac{mv'^2}2 \iff v=v'$, т. е. модуль скорости не меняется. Меняется только направление на противоположное, это значит $\vec p=\vec p' + \vec p_{\text{з}}$, чтобы закон сохранения импульса выполнялся, нужно чтобы импульс земли $\vec p_{\text{з}}=2\vec p$

то здесь "хитрость" в том, что мы полагаем массу третьего тела (Земли, стенки) бесконечной. Если рассмотреть для упрощения случай абсолютно упругого столкновения двух тел, одно из которых массой $M$ до удара неподвижно, то окажется, что скорость $v_M$ этого тела после удара равна
$v_M=\frac{2m}{m+M}v_0$
импульс
$p_M=\frac{2mM}{m+M}v_0$
а кинетическая энергия этого тела
$K_M=\frac{mM}{\left(m+M\right)^2}v_0^2$
Если теперь устремить $M\to\infty$, то окажется, что скорость тела с массой $M$ и его кинетическая энергия стремятся к нулю, а импульс этого тела тем не менее остается конечным и равным удвоенному импульсу системы до столкновения. Естественно, импульс тела с массой $m$ по закону сохранения импульса оказывается равным $-mv_0$, что и означает изменение скорости тела по направлению на противоположное.

В реальности бесконечных масс, разумеется, нет, и Земля имеет ненулевую, но крайне малую скорость. Тем не менее вследствие огромноси ее массы импульс конечен: и скорость, и масса входят в выражение для импульса в одинаковой степени - в первой. А вот КЭ, пропорциональная второй степени малой величины, оказывается тоже очень малой (пренебрежимо малой). В случае стенки в первом приближении можно считать связь стенки с Землей бесконечно жесткой, т.е. на самом деле при столкновении тел со стенкой следует рассматривать столкновение тел с Землей, имеющей существенно большуя массу, чем стенка.

[meduza]

EtCetera в сообщении #257718 писал(а):

но когда при зазоре в 1 мм, 1 мк, 1нм... - маленький шарик "выстреливается", а при зазоре в 0 мм (мк, нм) - нет, у меня просто не хватает воображения.

Да, скорее всего что шарик выстрелится даже при нулевом зазоре. Если рассматривать шарики как совокупность частиц, то при столкновения системы $m+M$ с землей нижний слой частиц изменит свой импульс на противоположный, затем он упруго столкнется со следущим слоем и произойдет обмен скоростей и т. д. В конце концов "импульс дойдёт" до малого шарика и это можно рассматривать как столкновение двух шариков, движущихся с противоположными скоростями, т. е. как вы уже писали выше.

Довольно скользкая задача из той серии, когда решение школьными и университетскими методами даёт разные результаты.

[Парджеттер]

Парджеттер:

boryn, формулы надо набирать с помощью тега math (как это делать можно посмотреть здесь). В том числе обязательно использование знака доллара. Иначе создается неудобство при чтении формул. Пока устное предупреждение.