Максимальная кривизна Безье 3-го порядка?

[Zursmansor]

Имеется кривая Безье третьего порядка. Хочется найти ее максимальную кривизну, по возможности в замкнутой форме.

На крайний случай считать придется численно и для этого полезно знать сколько локальных максимумов кривизны может у нее быть. Из интуитивных соображений не больше чем число контрольных векторов $n$(в данном случае четыре). А скорее всего даже и не больше чем $n-1$.

Если кто то сталкивался с такой задачей, не поделитесь ссылками или соображениями?

[Алексей К.]

Сталкивался, анализировал, и хорошего ничего не вышло. Возможно, от того, что я тогда кроме матана и дифф.геом. ничего не знал (а надо было знать поболее о полиномах, их корнях, Вандермонде, и проч.). Было это лет 20 назад.
Я тогда "открыл", что параметр можно исключить (несмотря на то, что он в кубе!), и что получается кривая третьего порядка $f(x,y)=0$. И решил, что это довольно гениально, надо дальше долбить.

Zursmansor в сообщении #253799 писал(а):

Из интуитивных соображений не больше чем число контрольных векторов $n$(в данном случае четыре). А скорее всего даже и не больше чем $n-1$.

Число контрольных точек следует считать равным двум (начало и конец можно зафиксировать). Соответственно, число свободных параметров --- 4 (коэфф. гомотетии исключаем).

Уравнение $k'(t)=0$ есть (было ) полином(ом) 5-го порядка (в числителе).
Получаем, что максимум --- 5 вершин. Возможно, теория алгербаических кривых как-то по-другому ограничивает количество вершин на кривой 3-го порядка (там были какие-то формулы, Плюккера, кажется).
Сколько-то из них попадает в $t\in[0,1]$. Если их рельно 5, то можно построить кривую, у которой все 5 попадут в этот отрезок.

Насколько я помню, из 72 типов кривых 3-го порядка, перечисленных Ньютоном (Newton I. Enumeratio linearum tertii ordinis. Optics, London, 1704), только 3 типа являются Безьями (т.е. допускают полиномиальную параметризацию).

Zursmansor писал(а):

Имеется кривая Безье третьего порядка. Хочется найти ее максимальную кривизну, по возможности в замкнутой форме.

Об этом писал Данте: "Оставь надежду, ..."

Пороюсь в архивах, может найду картинки с Геометрическими Местом Точек-Вершин, которые я тогда строил.

-- 22 окт 2009, 13:04 --

Как Вы, наверное, поняли, под вершиной я понимаю точку экстремальной кривизны.

-- 22 окт 2009, 15:35 --

В пять вершин сам не верю. Частный случай кубической параболы (один из 3-х упомянутых) --- ровно две. Наверняка легко ищутся, и кривизна явно выражается.

[Zursmansor]

Интересные соображения, спасибо, что поделились! Насчет пяти максимумов кривизны я тоже не верю, но ведь среди екстремумов есть и минимумы. Тогда все получается т.е. в "худшем" случае либо три максимума и два минимума между ними или наоборот.

Моя надежда была в том, что известно элегантное геометрическое построение дающее положение максимумов кривизны, но, видимо, процитированный выше классик был прав

[ewert]

Совершеннейшая загадка, откуда вообще взялось пять экстремумов. Ведь 5-1=4.

[Алексей К.]

Zursmansor в сообщении #253999 писал(а):

но ведь среди екстремумов есть и минимумы. Тогда все получается т.е. в "худшем" случае либо три максимума и два минимума между ними или наоборот.

Ну и что? Когда Вы реверсируете кривую, максимумы превратятся в минимумы и наобором. Если Вы думаете об экстремумах модуля кривизны, то... то лучше этого не делать. $k(t)=\dfrac{y''x'-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ без всяких модулей.

Обещанную картинку нашёл и вот-вот запузырю. Просто не даёт покоя последнее сообщение ewertа про 5-1=4. Типа ничо не понимаю = никак не могу протрактовать. Типа сижу и катастрофически думаю. Полагаю, узнав об этом, он любезно облегчит процесс думания (второй день подряд этим заниматься всё же тяжко, и борщ надоел).

-- 22 окт 2009, 23:04 --

ewert в сообщении #254002 писал(а):

Совершеннейшая загадка, откуда вообще взялось пять экстремумов. Ведь 5-1=4.

Алексей К. в сообщении #253833 писал(а):

Уравнение $k'(t)=0$ есть ... полином 5-го порядка (в числителе).

!!! Ну, я имел в виду 5-й степени, если дело в этом. Да, наверняка в этом, эти два слова, насколько я помню, на единичку различаются.

-- 22 окт 2009, 23:57 --

Вот:



Смена цвета кривой --- переход через вершинку. Видим в этом семействе 3 вершины, не более.
Дабы вообразить привычную кривую Безье $t\in[0,1]$ --- выберИте 2 точки на одной из кривых семейства. ВыберЕте в пределах одного цвета --- вершин типа не будет. Итд.

Но это всего типа один тип их трёх.

-- 22 окт 2009, 23:59 --

Но и это ещё не всё, что мне хотелось сазать по поводу. Пока подбираю слова.

[Zursmansor]

Очень интересно, надо обдумать. Тема оказалась богаче, чем представлялось в начале Спасибо! С интересом жду продолжения.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #254019 писал(а):

Но и это ещё не всё, что мне хотелось сазать по поводу. Пока подбираю слова.

Не очень подобрались... Ну типа как бы так.

Вообще-то кривые Безье в компьютерной графике любят, в частности, за их аффинную инвариантность. Преобразовали контрольный полигон, и кривая вослед преобразовалась. Хотя, изобретая эти кривые на заводе Рено, Пьер Безье вряд ли собирался аффинно преобразовывать автомобили.

Но при аффинных преобразованиях кривизна меняется не особо предсказуемо. Экстремумы где-то появляются, где-то исчезают. Вот, возьмём колесо велосипеда, и подвергнем его аффинно-ударному преобразованию. И все замечательные свойства колеса исчезнут. Ездить будет крайне неудобно.

Не зная подробностей Вашей исходной задачи, я лишь предполагаю: ежели Вас кривизны интересуют, --- может, зря ли Вы Безье привлекли? Просто от того, что это самые простые и привычные кривые в компьютерной графике?
А какие тогда кривые взять, если не Безье? А не знаю.

Можно конечно предположить задачку, в которой это уместно: Вы хотите проинтерполиловать некую (трансцендентную? механического происхождения?) кривую кусочками Безье, а знание кривизн позволит прогарантировать заданную точность (кубический сплайн вроде с этим как-то справляется).

Как-то так: кривые Безье не очень заточены под задачки с кривизной, и ожидать простых-красивых-замкнутых выражений не приходится. А численные рассчёты несложнЫ.

[Zursmansor]

Безье возник потому что до меня кто то выбрал именно такие кривые и теперь менять уже поздно.

Задача относительно проста и не нова: надо узнать насколько можно менять контрольные точки так чтоб труба (или лента в 2D) постоянной известной ширины вытянутая вдоль сплайна не "портилась" (не самопересекалась).

Я напишу что получилось, когда закончу с этой задачей. Спасибо за подробное обсуждение и картинки!

-- Пт окт 23, 2009 10:52:56 --

Кстати в процессе нагугливания мне попалось несколько статей про аппроксимацию кривых Безье дугами окружностей с заданной точностью. Из них видно, что элегантной простоты ожидать и в самом деле не приходится