Несколько пределов функций

[Bardo]

Господа, очень нуждаюсь в помощи. Есть пара лимитов, которые у меня не получается вычислить самостоятельно. Либо получается, но неправильно (точно знаю, что неверно, поскольку проверяю при помощи Wolfram Mathematica). Помогите, пожалуйста, решить. Интересует не столько один ответ, сколько ход решения.
1.

$$\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x+2}{x+1}\right)^{2x-1} $$

2.

$$\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2x+1}{x-1})\right)^{4x} $$

3.

$$\lim_{x\to 1} (1-x)*\tg\left(\frac{\pi*x}{2}\right), $$

4.

$$\lim_{x\to 1}\left(\frac{2x-1}{x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[5] x - 1}}, $$

[ИСН]

Третий сводится к $\sin x\over x$, остальные - e-образные.

[TOTAL]

Bardo в сообщении #253107 писал(а):

Либо получается, но неправильно

А разве может быть случай, который типа ещё страшнее, когда даже неправильно не получается?

[gris]

В е-образных случаях помогает правило $\lim(1+A)^B=e^{AB}$ при известных ограничениях. Но некоторые преподы требуют расписывать.

[Алексей К.]

Bardo в сообщении #253107 писал(а):

...Интересует не столько один ответ, сколько ход решения.
1.

$$\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x+2}{x+1}\right)^{2x-1} $$

Здесь надо увидеть, догадаться (набить руку), что дело всё очень похоже и, видимо, сводится к известному пределу $\lim_{x\to\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$. Вот один намёк: $\frac{x+2}{x+1}=\frac{x{+}1+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$. Заменим $x+1$ на $t$ (которое, вместе с $x$, тоже стремится к бесконечности). Тогда $x=t-1$, и $2x-1=2t-3$, и

$$\lim_{x\to\infty}\left( \frac{x+2}{x+1}\right)^{2x-1}= \lim_{t\to\infty}\left(1+ \frac{1}{t}\right)^{2t-3}= \lim_{t\to\infty}\dfrac{\left[\left(1+ \frac{1}{t}\right)^t\right]^2}{\left(1+ \frac{1}{t}\right)^3}=\ldots $$

Предел в числителе теперь видим: $e^2$. Предел знаменателя --- 1.
Всякие свойства про пределы сумм, частных и проч. надобно тоже из учебника почерпнуть и пользоваться.

Так и с другими поступайте, кроме тригонометрического. Он опирается на другой известный (замечательный) предел.

-- 20 окт 2009, 12:37 --

Пишите сюда свои попытки и трудности, Вам подскажут.

[Bardo]

Итак, первый действительно понял. Остается вопрос относительно второго. По подобным же свойствам во втором я получаю e в следующей степени:

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^2 + 8x}{x-1}$$

После этого в степени образуется ситуация бесконечность деленная на бесконечность, которую раскрывают, разделив все на максимальный в выражении показатель степени. Я и получаю в результате проведения такой операции ситуацию $\frac{4}{0}$, что приводит, по идее, к бесконечности. Вольфрам же показывает в ответ - ноль. Где ошибаюсь?

Услышал уже, что третий лимит сводится к $\sin x\over x$. Каким образом? Не могу увидеть первого шага(

[ИСН]

Во втором: его лучше не делать как е-образный, но можно и так. Оба правы. Бесконечность, она ведь бывает разная (+ и -).
В третьем: перейти к новой переменной ${\pi\over 2}\cdot(1-x)$, обозначить её какой-нибудь буквой.

[gris]

Второй предел не сводится ко второму замечательному. Выражение в скобках стремится к 2, а не к 1. Поэтому там просто по непрерывности. Но даже если, то $\frac4{-0}=-\infty$

[ewert]

gris в сообщении #253344 писал(а):

Второй предел не сводится ко второму замечательному.

Это правда. Это -- типичная провокация (из числа разумных). Обучаемому предлагается задачка, внешне похожая на некоторые стандартные, но к ним не сводящаяся (и при этом гораздо более тривиальная). И предлагается сориентироваться. Разумно.

[Bardo]

Вопрос... А не можно ли в третьем тангенс разложить по формуле, в результате чего он примет вид $\frac{\sin\pi*x}{1+cos\pi*x}$ .А после этого - просто использовать формулы эквивалентности? Тогда получится единица деленная на Пи икс. Это все умноженное, конечно, на выражение $(1-x)$. Тогда при подстановке икса (единица) выйдет ноль, как и должно быть? Или нельзя там использовать эквивалентность? Если нет, то можно, все-таки, подробнее сей лимит рассмотреть?

[ИСН]

Перейдите к новой переменной, я дело говорю.

[Bardo]

Я не очень хорошо понял... Первый мелкий шаг, может, второй?

[ИСН]

1. Придумайте, какой буквой обозначить новую переменную.
2. Вылейте воду из чайн Выразите $x$ через эту новую переменную (чему она равна, см. выше).
3. Выразите через неё всё, эээ, выражение.
4. Упростить. Соль, сахар по вкусу.

[Bardo]

Что-то у меня свелось к 2t\over\pi$*ctgt$

[ИСН]

Куда-куда?