Задачи на группы и кольца

[vanja]

т.е. я так понял, что надо доказать, что С имеет мультипликативную единицу, только как это сделать, не подскажете?

[Sonic86]

vanja писал(а):

т.е. я так понял, что надо доказать, что С имеет мультипликативную единицу, только как это сделать, не подскажете?

Вы уверены, что она там есть?
Выпишите здесь несколько элементов $C$.

[vanja]

а то есть может ее и не быть

[Sonic86]

ну, думаем, думаем... дальше пишите

[vanja]

ну 0 наверное, 1ца вряд ли

[vanja]

третье все-таки было доказано, а вот как первое?
$HA$-подгруппа т.к.:
1) HA-подмножество, все элементы лежат в С
2) существует нейтральный элемент, обусловлено его существованием в С и он единств.
а что еще можно привести в аргумент?

[vanja]

помогите,пожалуйста, доказать замкнутость операции и существование противоположного элемента в первом задании.
$AH$подгруппа$ C $
$hA=Ah$
$ha_1=a_2h$
$g_1=h_1a_1$
$g_2=h_2a_2$
нужно показать, что эти эл-ты тоже лежат в $HA$
$g_1g_2=h_1(a_1h_2)a_2=(h_1h_2)(a_1a_2)$
где ошибка здесь?

[vanja]

очень хочется разобраться,никто не поможет?

[vanja]

обратный элемент:
$g \in HA$
$g=ha$
$ha=h^{-1}a^{-1}=e$
$e \in HA$
$g^{-1} \in HA$
$(ha)^{-1}=a^{-1}h^{-1}$ не подскажете правильно ли выведено и вопрос о замкнутости неясен

[Профессор Снэйп]

vanja в сообщении #252172 писал(а):

1) Пусть Н-произв.подгруппа группы С и А-некоторый ее нормальный делитель.Доказать, что НА является подгруппой С,причем НА=АН.

Я понял задание так: если $H$ --- подгруппа в $G$ и $A$ --- нормальная подгруппа в $C$. Надо доказать, что $AH = \{ ah : a \in A,\, h \in H \} = \{ ha : h \in H,\, a \in A \} = HA$ и это множество является подгруппой в $C$.

1) Включение $AH \subseteq HA$. Пусть $x \in AH$. Тогда $x = ah$ для некоторых $a \in A$ и $h \in H$. Имеем $x = ah = (hh^{-1})ah = h(h^{-1}ah) = hb$, где $b = h^{-1}ah$. Так как подгруппа $A$ нормальна, то $b \in A$. Значит, $x = hb \in HA$.

2) Включение $HA \subseteq AH$. Похоже на предыдущий пункт, сделайте самостоятельно.

3) $AH$ --- подгруппа в $C$. Нужно показать, что $x_1x_2^{-1} \in AH$ для всех $x_1,x_2 \in AH$. Пусть $x_1,x_2 \in AH$. Тогда $x_1 = a_1h_1$ и $x_2 = a_2h_2$ для $a_1,a_2 \in A$ и $h_1,h_2 \in H$. Имеем $x_1x_2^{-1} = (a_1h_1)(a_2h_2)^{-1} = (a_1h_1)(h_2^{-1}a_2^{-1}) = a_1h_3a_3$, где $h_3 = h_1h_2^{-1} \in H$ и $a_3 = a_2^{-1} \in A$. Далее, по пункту 2 $h_3a_3 = a_4h_4$ для некоторых $h_4 \in H$ и $a_4 \in A$. Отсюда... (закончите самостоятельно).

Вообще, не понимаю, как настолько тривиальную вещь можно так долго мусолить!

[vanja]

спасибо,правда я уже сам нашел, где уменя была ошибка, все оказалось намного проще)
1) 2) пункты это хорошо и оч помогли, а вот 3) пункт скорее похож на док-во смежности.
задача же заключалась в том, чтобы доказать замкнутость множества отн-но произведения(т.е. для любых 2х элементов $h_1a_1$и$h_2a_2$ $\in HA$ найдется элемент $(h_1a_1)(h_2a_2)$,который вновь будет лежать в $HA$ т.е. $(h_1a_1)(h_2a_2)=a_3h_1h_2$,где $a_3 \in A, h_1h_2 \in H$) и также замкнуто относительно взятия обратного (т.е. для любого $ha \in HA$ элемент $ (ha)^{-1}$,который вновь лежит в $HA$)