Задачи на группы и кольца

[vanja]

Было дано индивидуальное задание из 3 примеров:
1) Пусть Н-произв.подгруппа группы С и А-некоторый ее нормальный делитель.Доказать, что НА является подгруппой С,причем НА=АН.
2) Найти все абелевы группы порядка 63.
3) Пусть А-кольцо комплексных чисел с целыми действительными и мнимыми частями(кольцо целых гауссовых чисел),С-множество чисел a+Bi, где а=В в кольце А. Будет ли С идеалом кольца А?
Вот вообщем-то хотелось бы, чтобы посоветовали литературу и примеры, которые были бы похожи и помогли бы в разборке этих задач.Также было бы приятно, если бы направляли в решении этих задач.
Заранее благодарен.

[bot]

Ну, судя по уровню задач Вы не в курсе даже определений. Вот с них и начните - их можно найти в любом учебнике по группам в самом начале.
Было приятнее направлять, если бы хотя бы какие-то движения были продемонстрированы с Вашей стороны.

[vanja]

2)$n=63=9*7=3^2*7$
$3*3*7 \Rightarrow Z_3 \oplus Z_3 \oplus Z_7$
$9*7 \Rightarrow Z_9 \oplus Z_7$
$Z_3=\{0,a,2a\}$
$Z_7=\{0,a,2a,3a,4a,5a,6a\}$
$Z_9=\{0,a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,8a\}$
не подскажете, что делать далее?

[vanja]

?

[vanja]

не хочется быть слишком настойчивым, знаю, что задачи легкие, но помощь очень необходима

[VAL]

vanja в сообщении #252172 писал(а):

3) Пусть А-кольцо комплексных чисел с целыми действительными и мнимыми частями(кольцо целых гауссовых чисел),С-множество чисел a+Bi, где а=В в кольце А. Будет ли С идеалом кольца А?

Принадлежит ли число $1+i$ множеству C? А квадрат этого числа? Какие можно сделать выводы?

[Профессор Снэйп]

vanja в сообщении #252172 писал(а):

2) Найти все абелевы группы порядка 63.

Порядки элементов группы являются делителями порядка группы. В нашем случае порядок группы равен $63 = 7 \cdot 3^2$. Начинайте думать, исходя из этого.

А вообще, конечно, есть теорема, описывающая строение конечных абелевых групп. Если с ней разобраться, то задача решается с полпинка.

-- Пт ноя 06, 2009 19:44:42 --

vanja в сообщении #258015 писал(а):

2)$n=63=9*7=3^2*7$
$3*3*7 \Rightarrow Z_3 \oplus Z_3 \oplus Z_7$
$9*7 \Rightarrow Z_9 \oplus Z_7$
$Z_3=\{0,a,2a\}$
$Z_7=\{0,a,2a,3a,4a,5a,6a\}$
$Z_9=\{0,a,2a,3a,4a,5a,6a,7a,8a\}$
не подскажете, что делать далее?

А что, надо что-то делать далее? Вроде всё, что надо, сделано. Существует ровно две (с точностью до изоморфизма) абелевых группы порядка $63$: $\mathbb{Z}_9 \oplus \mathbb{Z}_7$ и $\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}_7$. Только про сами группы $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_7$ и $\mathbb{Z}_9$ у Вас какая-то лажа написана. Что ещё за $a$ там такое фигурирует?

[vanja]

Профессор Снэйп,просто что-то подобное было найдено в лекциях, что-то мне подсказывает, что это просто элементы группы

[Профессор Снэйп]

Найдите более хорошо написанные лекции

А для начала поройтесь в интернете (начните, например, с Вики) и узнайте, что такое $\mathbb{Z}_n$.

[vanja]

никто не подскажет правильно ли выполненo док-во и что не так, если неправильно?
3) исходя из основной теоремы о гомоморфизме колец: если С-идеал а, тогда любой идеал дает возможность определить фактор кольцо,причем гомоморфный образ, Kerf=C (ядро совпадает с идеалом).
Ker любого гомоморф. явл-ся подкольцом все эл-ты С явл-ся эл-ми ядра,след. если a=b,c=2a,тогда С рассм. как сумму идеалов a и b, след. С будет идеалом.

[Leox]

Советую вспомнить определение идеала и сделать потом небольшую проверку.

[vanja]

т.е. для кольца А идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из А,правда я что-то уже путаюсь(

[Leox]

vanja в сообщении #273614 писал(а):

т.е. для кольца А идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из А,правда я что-то уже путаюсь(

да

[vanja]

и как от этого оттолкнуться?

-- Пн дек 21, 2009 01:02:50 --

т.е. надо доказать, что С явл-ся подкольцом?

[Sonic86]

vanja писал(а):

т.е. надо доказать, что С явл-ся подкольцом?

Да, доказывайте по критерию подкольца.