Сравнение средних степенных

[Sasha2]

Средним степенным n положительных чисел $a_1, a_2,..., a_n$ порядка $\alpha$ называется вещественное число, определяемое следующим образом:
$c_{\alpha}(a_1, a_2,..., a_n)=(\frac{a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}+...+a_n^{\alpha}}{n})^{\frac{1}{\alpha}}$.
Прим. $c_0=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ ро определению
Или просто, когда известно о каких числах $a_1, a_2,..., a_n$ идет раз и навсегда речь, просто через $c_{\alpha}$.
Известна элементарно доказываемая теорема о том, что если $\alpha < \beta$, то и $c_{\alpha}\leq{c_{\beta}}$. При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда все числа $a_1, a_2,..., a_n$ раны между собой. Во всех же остальных случаях неравнство носит исключительно строгий характер.
НУ ЭТО ХОРОШО ВСЕМ ИЗВЕСТНЫЙ ФАКТ.

А вот я с ходу затрудняюсь так сразу ответить, а верно ли, что $c_{\alpha}+c_{\beta}\leq{c_{\gamma}+c_{\delta}}$, если $\alpha+\beta<\gamma+\delta$?

Грубо говоря, можно ли как-то свести сравнение степенных (ТАКЖЕ ИХ СУММ, ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ, а может и не только линейных), к сравнению определенных комбинаций их порядков?

[ИСН]

Разумеется, нет. Для этого оно должно было бы являться выпуклой функцией от порядка, или на крайняк линейной.

[Sasha2]

А логарифмической выпуклости не хватит?

[ИСН]

Функция ограничена снизу, ограничена сверху, и притом монотонна. Что такое логарифмическая выпуклость, я не знаю, но по-моему, это уже не имеет значения.

[nn910]

Sasha2 в сообщении #252133 писал(а):

Средним степенным n положительных чисел $a_1, a_2,..., a_n$ порядка $\alpha$ называется вещественное число, определяемое следующим образом:
$c_{\alpha}(a_1, a_2,..., a_n)=(\frac{a_1^{\alpha}+a_2^{\alpha}+...+a_n^{\alpha}}{n})^{\frac{1}{\alpha}}$.
Прим. $c_0=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$ ро определению
Или просто, когда известно о каких числах $a_1, a_2,..., a_n$ идет раз и навсегда речь, просто через $c_{\alpha}$.

Грубо говоря, можно ли как-то свести сравнение степенных (ТАКЖЕ ИХ СУММ, ПРОИЗВЕДЕНИЙ И ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ, а может и не только линейных), к сравнению определенных комбинаций их порядков?

$\alpha* ln (c_{\alpha})$ выпуклая,см http://ega-math.narod.ru/Bellman.htm#sect16 можно получить, например, $c_2^2 >c_{-1}c_1$
из чего $(x^2+y^2+z^2)(xy+xz+yz)>3xyz(x+y+z)$ при положительных неравных x,y,z и много еще интересного

[ИСН]

А, тогда да, для произведений (не для сумм) кое-что должно получаться. Не понял, правда, к чему у Вас это $c_2^2 >c_{-1}c_1$ (что банально следует из монотонности), но всё равно.

[Sasha2]

Ну а система какая-нибудь существует, или только отдельные россыпи в виде отдельных результатов и олимпиадных задач?

[nn910]

ИСН в сообщении #252165 писал(а):

А, тогда да, для произведений (не для сумм) кое-что должно получаться. Не понял, правда, к чему у Вас это $c_2^2 >c_{-1}c_1$ (что банально следует из монотонности), но всё равно.

Приятно с внимательными людьми. Действительно, "пример использования" показал где его использовать незачем. Зато в http://dxdy.ru/post236492.html#p236492я больше постарался подбирая пример на это.

[Sasha2]

Вот-вот и я о том же. Постоянные неравенства от уважаемого Аркадия наталкивают на мысль, а может все таки есть система, позволяющая каким-либо образом отобразить все эти степенные на множество вещественных чисел так, чтобы сохранились какие-то отношения порядка.