Помогите найти сумму кубов нечетных чисел

[Бодигрим]

gris в сообщении #251121 писал(а):

Бодигрим, а такой расклад Вас не убедит? Это же практически индукция.

О, это уже убедит. Спасибо. По ссылке в Википедии нашел почти такой же чертеж: http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/m ... ob.htm#s32

Батороев в сообщении #251161 писал(а):

Бодигрим, так Вам надо, по-видимому, для сумм кубов?

И для сумм кубов, и для сумм квадратов.

[Shtirlic]

К сажелению я ошибся, там все благополучно сокращается, в принципи о чем можно было догадаться, сразу не сообразил.

[Shtirlic]

Все, для суммы квадратов я формулу вывел. Первоначальную укладку деталей делаем туже саму, потом допалняем это дело до лестнице, дальше считаем площадь аналогично случаю с просто суммой (только на n умнажаем это дело) и отнимаем от этого дополнение (в котом будем сумма квадратов, но она уйдет в левую часть). Выражаем сумму квадратов и все, формула готова. Все до конца дорешал, получилась. С кубами думаю аналогично.

[Батороев]

Батороев в сообщении #251161 писал(а):

У меня есть симпатичная картинка, но по-видимому, не имеющая отношения к вопросу Бодигрима.

Выложить ее здесь я не сумею, а на словах она выглядит так:
Рисуем окружности, символизирующие треугольные числа.
Соединяем центры окружностей. Получаем треугольники, которые символизирую квадрат соответствующего числа.
Т.е. количество маленьких треугольников в $n$ рядах, начиная сверху, равно $n^2$.

Напрасно я заявил, что такая картинка не имеет отношения к вопросу Бодигрима.
Имеет и самое непосредственное.
Попросите детишек закрасить полученные маленькие треугольники, начиная сверху, по $1, 2^3, 3^3, 4^3$... треугольников в разные цвета, а затем последовательно выписать количество рядов, закрашенных тем или иным цветом. Имея в виду то, что большой треугольник символизирует квадрат числа, то дети смогут догадаться, квадрату какого числа соответствует та или иная сумма кубов последовательных натуральных чисел.

Доказательство кроется в факте, лежащем на поверхности, но по-видимому, или упорно не замечаемом, или просто пренебрегаемом математиками (иначе его непременно давали бы в школе):

Степень любого натурального числа $a^n$ (для $n\geq 2$), равна сумме $a$ последовательных нечетных чисел, симметричных относительно $a^{n-1}$.

***
И глядя на картинку, можно предположить то, что ВТФ, да и гипотеза Биля справедливы, по-видимому, в виду того, что сложив две целочисленные трапеции нельзя получить третью. В отличие от треугольников (ВТФ для степени $n=2$).

[nn910]

Батороев в сообщении #251208 писал(а):

У меня есть симпатичная картинка, но по-видимому, не имеющая отношения к вопросу Бодигрима.

Выложить ее здесь я не сумею, а на словах она выглядит так:
Рисуем окружности, символизирующие треугольные числа.
Соединяем центры окружностей. Получаем треугольники,

***

И глядя на картинку,

У меня не хватает фантазии увидеть здесь треугольники(располагаю окружности вдоль прямой).
С поможью минимального софта выложить можно так:нарисовать в Ворде используя панель рисования;кликнуть правой кнопкой и сохранить в формате jpg; зайти на radical.ru и выложить там;скопировать ссылку на Ваш рисунок;упомянуть ее в следующем посте.
Кстати мне нравится рисунок gris.Тема-то оказалась перспективной

[Батороев]

nn910 в сообщении #251214 писал(а):

У меня не хватает фантазии увидеть здесь треугольники(располагаю окружности вдоль прямой).

Окружности распологайте в треугольник, как обычно изображают, интерпретируя треугольные числа.
http://images.yandex.ru/yandsearch?p=4&ed=1&text=%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5%20%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0&spsite=www.timboucher.com&img_url=www.timboucher.com%2Fjournal%2Fwp-content%2Fuploads%2F2007%2F02%2Ftriangular_numbers_t.gif&rpt=simage

[TOTAL]

Зачем ломать голову над всеми этими вымученными геометрическими интерпретациями,
если просто просуммировать будет гораздо легче и быстрее?

[Батороев]

TOTAL в сообщении #251221 писал(а):

Зачем ломать голову над всеми этими вымученными геометрическими интерпретациями,
если просто просуммировать будет гораздо легче и быстрее?

Был вопрос Бодигрима.

Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):

Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

[nn910]

А,так количество окружностей равно треугольному числуА где тогда квадрат треугольного числа,который и должен быть равен сумме кубов В Вашей ссылке пищут что какие-то рисунки недоступны, но вот этогоhttp://im6-tub.yandex.net/i?id=20788546&tov=6 мне хватило

Батороев в сообщении #251208 писал(а):

Доказательство кроется в факте, лежащем на поверхности, но по-видимому, или упорно не замечаемом, или просто пренебрегаемом математиками (иначе его непременно давали бы в школе):Степень любого натурального числа $a^n$ (для $n\geq 2$), равна сумме $a$ последовательных нечетных чисел, симметричных относительно $a^{n-1}$.[/b]

В школе дают для арифметической прогрессии $S=n*\dfrac{a_1+a_n}{2}$ другими словами сумма=количество умноженное на среднее,те школьник должен справиться с этим Вашим утверждением даже без слова "нечетных"
TOTAL ,я не знаю зачем Предложите новый топик,как про редиски был, запомнился

[Батороев]

nn910 в сообщении #251225 писал(а):

А где тогда квадрат треугольного числа,который и должен быть равен сумме кубов

Соедините центры сопряженных (в объяснении картинки, к сожалению, это слово упустил) окружностей.
Затем подсчитаем количество полученных треугольников (сверху-вниз).
В первом ряду - 1 треугольник
В первом и втором рядах - 4 треугольника
В первом, втором и третьем - 9 треугольников.
Т.е. получаем число рядов в квадрате.
До сих пор понятно?!

А теперь выполним то, что я предлагал выше:
Оставим белым 1 верхний треугольник.
Затем закрасим синим цветом $2^3=8$ следующих треугольников.
Далее закрашиваем красным цветом $3^3=27$ следующих треугольников.
Получили триколорный большой треугольник, в котором один ряд - белый,
два ряда - синих и три ряда - красных треугольников, а общее количество малых треугольников $(1+2+3)^2$, чего и добивались.

[nn910]

Батороев в сообщении #251237 писал(а):

Получили триколорный большой треугольник, в котором один ряд - белый,
два ряда - синих и три ряда - красных треугольников, а общее количество малых треугольников $(1+2+3)^2$, чего и добивались.

Теперь согласен. Очень патриотично. И если Бодигрим не сменит цвета, могут и привлечь за чуждую госсимволику