2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Не в сети
 Помогите найти сумму кубов нечетных чисел
Сообщение11.10.2009, 15:52 
5
Появился: 17/09/09
Сообщения: 3
Помогите найти сумму $1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение11.10.2009, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
5
Появился: 03/06/09
Сообщения: 1497
Может $1^3+3^3+...+(2n-1)^3$? Сначала ваша попытка решения.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение11.10.2009, 15:58 
Заслуженный участник
51
Появился: 11/05/08
Сообщения: 27640
Самый тупой способ: ищите её в виде $S(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn+e$. Потребуйте, чтобы $S(n+1)-S(n)$ было равно тому, чему положено -- получите систему из 4-х уравнений с 5-ю неизвестными. Недостающее уравнение получается из $S(1)=1$.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение11.10.2009, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
5
Появился: 03/06/09
Сообщения: 1497
saau16
Можно найти несколько первых частичных сумм и, если вы догадливый, угадать общую формулу (если нет -- то можно воспользоваться подсказкой на http://www.research.att.com/~njas/sequences/). Потом эту формулу просто нужно доказать по индукции.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение11.10.2009, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
51
Появился: 13/08/08
Сообщения: 11061
А формулу суммы кубов всех натуральных чисел от $1$ до $2n$ помните? Я бы из неё вычел сумму кубов чётных чисел, из которой можно вынести за скобку $8$

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
511
Появился: 22/11/06
Сообщения: 1096
Откуда: Одесса, ОНУ ИМЭМ
Кстати, я тут недавно на школьном кружке детям рассказывал про формулы для сумм степеней натуральных чисел и задумался над следующим. Вот для первой степени соответствующие формулы $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$ и $\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2$ имеют наглядные геометрические "доказательства". Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
51
Появился: 13/08/08
Сообщения: 11061
Тут есть детсадовское доказательство с кубиками.
Установим единичный кубик в угол. К нему вдоль одной стенки приложим два кубика. К этим двум перпендикулярно ещё два и на этих четыре ещё четыре. То есть у нас получится куб $2\times 2 \times 2$. К нему таким же образом пристыкуем куб $3\times 3 \times 3$ и так далее, пока хватит кубиков.
Пусть у нас хватило, чтобы построить целиком куб $n\times n\times n$.
Всего мы истратили кубиков столько, сколько получится при суммировании кубов от одного до $n$.
Обратим внимание, что у нас вдоль одной стеночки выстроилась как раз сумма от одного до $n$ кубиков.
Теперь проведём черту или положим дощечки перпендикулярно стеночкам. У нас отгородится квадрат с длиной стороны равной сумме от одного до $n$.
Теперь начнём укладывать все кубики в один слой.
Опа! Они как раз заполнили весь квадрат без пропусков!

Изображение

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 14:30 
5
Появился: 25/05/09
Сообщения: 231
Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):
Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?
Берем бесцельное интегрирование (первообразная от куба "не известна")
$(\int_0^a{xdx})^2=\int_0^a \int_0^a {xydxdy}=\int_0^a \int_0^a {(\dfrac{(x+y)^2}{4}-\dfrac{(x-y)^2}{4})dxdy}=$
$\int_0^a {(\dfrac{(a+y)^3}{12}-\dfrac{y^3}{12}-\dfrac{(a-y)^3}{12}-\dfrac{y^3}{12})dy=$
$\int_0^a {\dfrac{(a+y)^3}{12}dy}-3 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=$$\int_a^{2a} {\dfrac{y^3}{12}dy}-3 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=$
$=\int_0^{2a} {\dfrac{y^3}{12}dy}-4 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}=16\int_0^a {\dfrac{y^3}{12}dy}-4 \int_0^a {\dfrac{y^3}{12} dy}= \int_0^a {y^3 dy}$ и дискретизировать как-нибудь :lol:

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 14:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
511
Появился: 22/11/06
Сообщения: 1096
Откуда: Одесса, ОНУ ИМЭМ
gris, у вас получилось не доказательство, а некая демонстрация, в ходе которой совершенно не очевидно, что утверждение окажется истинным для любого порядка. Вот когда я складываю нечетные числа, представляя их гномонами из кубиков, то совершенно очевидно, что на любом шаге получается квадратик, что и утверждает алгебраическая форма записи.

nn910, увы, хочется чего-то наглядного-наглядного и доступного восьмикласснику. Как в приведенном мною примере про сумму последовательных нечетных чисел.

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 14:54 
5
Появился: 25/05/09
Сообщения: 231
БодигримЯ еще не готов. Но в третьем выражении квадраты с картинки Пифагора, и что-то из них построить дискретное

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
511
Появился: 23/08/07
Сообщения: 4188
Откуда: Нов-ск
Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):
Вот для первой степени соответствующие формулы $\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$ и $\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2$ имеют наглядные геометрические "доказательства".
Какие здесь геометрические доказательства?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя
51
Появился: 13/08/08
Сообщения: 11061
Бодигрим, а такой расклад Вас не убедит? Это же практически индукция. Да и от детсада вы слишком много хотите.
Изображение

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 16:25 
Заслуженный участник
5111
Появился: 31/12/05
Сообщения: 809
gris в сообщении #251121 писал(а):
а такой расклад Вас не убедит?
Ой, это нагляднее, чем на картинке здесь:

http://en.wikipedia.org/wiki/Squared_triangular_number

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 18:06 
511
Появился: 23/01/07
Сообщения: 2748
Откуда: Новосибирск
У меня есть симпатичная картинка, но по-видимому, не имеющая отношения к вопросу Бодигрима.

Выложить ее здесь я не сумею, а на словах она выглядит так:
Рисуем окружности, символизирующие треугольные числа.
Соединяем центры окружностей. Получаем треугольники, которые символизирую квадрат соответствующего числа.
Т.е. количество маленьких треугольников в $n$ рядах, начиная сверху, равно $n^2$.

Если полученные треугольники мысленно представить, как вид сбоку объемной правильной четырехугольной пирамиды, то маленькие треугольники будут символизировать строительный элемент - пирамидальный кирпичик (пирамидка). Кроме таких кирпичиков для заполнения пустот понадобятся строительные элементы в виде тетраэдров с гранями, равными граням пирамидок (их объем равен половине объема пирамидок). Кто обладает хорошим объемным воображением может представить себе технологию строительства таких пирамид, но в условиях антигравитации - сверху-вниз. :)

Сами же пирамиды символизируют $n^3$. Т.е. в первом слое 1 пирамидка - это $1^3$.
При строительстве второго слоя ставим 4 пирамидки квадратом. Между ними вставляем перевернутую пятую пирамидку. Пустоты заполняем четырьмя тетраэдрами.
Итого имеем объем второго слоя, равный объему $5+\dfrac{4}{2}=7$ пирамидок.
Построив двухслойную пирамиду, получаем ее объем, равный объему $1+7=8=2^3$ пирамидок и т.д.

-- Пн окт 12, 2009 20:36:28 --

Кстати, если шары уложить в виде четырехугольной пирамиды, то получаем кучку в виде суммы квадратов.
Но что с этой кучкой можно сделать для доказательства того, что хотел Бодигрим, пока не придумал. :)

-- Пн окт 12, 2009 20:42:46 --

Бодигрим в сообщении #251088 писал(а):
Можно ли придумать аналогичные геометрические построения хотя бы для сумм квадратов? Или для $\sum_{k=1}^n k^3 = {\left(\sum_{k=1}^n k\right)}^2$ - неужели настолько "геометрическое" утверждение не позволяет "геометрического" же доказательства?

Бодигрим, так Вам надо, по-видимому, для сумм кубов?

 Профиль  
                  
 Не в сети
 Re: Помогите найти сумму
Сообщение12.10.2009, 19:20 
5
Появился: 22/09/09
Сообщения: 374
Бодигрим,
Насчет суммы квадратов, я так посмотрел, такая идея должна дать результаты, до конца ее я еще не довел. В соотвествие каждому слагаемому $k^2$ берите параллелипипед k*k*1, самый большой кладете внизь плашмя, на него кладете следующий в угол (тоже плашмя) и т.д., получаете недоделанный куб n*n*n, находите дополнение до куба (выражение будет содержать суммы квадратов) и отнимаете его от объема всего куба (это есть сумма квадратов). В итоге сумму квадратов можно будет выразить через кубическое уравнение. Если будет интересно, я потом вылажу подробное решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group