Доказать значение предела последовательности по определению.

[Mitrius_Math]

Gris, но по сути правильно?
Спасибо всем, кто пытался помочь!

[gris]

По сути неправильно
Вам надо показать, что неравенство выполняется для всех $n>1$

[Mitrius_Math]

Ну значит, мне не дано это понять...

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #250495 писал(а):

. . . . . . . . . . . . . . .
$\frac{1}{5n-2}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$

$N_\varepsilon=\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$

До сих пор всё было верно (с оговоркой gris насчёт целой части).

Mitrius_Math в сообщении #250495 писал(а):

Возьмём $\varepsilon=1$, тогда $N_\varepsilon=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$

Пусть $n=2>N_\varepsilon$. Значит, $\frac{1}{5n-2}<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{10-2}<1 \Leftrightarrow \frac{1}{8}<1$. Что и требовалось доказать.

А вот это уже чушь, притом непонятно, откуда взявшаяся.

[gris]

Mitrius_Math, Вы всё правильно сделали, только слова "что и требовалось доказать" надо переместить на две строки вверх. Знак равносильности, связывающий два неравенства, уже говорит о том, что доказательство завершено.
Далее Вы просто продемонстрировали выполнение неравенств на частном примере. А создалось впечатление, что Вы считаете это частью доказательства.

[ИС]

gris в сообщении #250525 писал(а):

Вам надо показать, что неравенство выполняется для всех $n>1$

А как это сделать? прям методом математической индукции?
и если это сделать, тогда решение Mitrius_Math будет полностью верным?

[Maslov]

ewert в сообщении #250578 писал(а):

А вот это уже чушь, притом непонятно, откуда взявшаяся.

Это, наверное, частично моя вина. Пытаясь пояснить ход рассуждений, я сначала рассмотрел пару частных случаев, а затем - случай произвольного $\varepsilon$:

Maslov в сообщении #250259 писал(а):

...
Например, возьмем $\varepsilon = 1/3$...
Теперь возьмем какое-нибудь другое значение $\varepsilon$, например, $\varepsilon = 1/9$...
Ну а теперь возьмем произвольное значение $\varepsilon$...

а топикстратер, судя по всему, решил, что рассмотрение частных случаев - это необходимая часть доказательства.

[gris]

Mitrius_Math совершенно правильно доказал, что

$\left|x_n-a \right|=\frac{1}{5n-2}<\varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$

(Хотя можно было бы сказать пару слов, что умножение и деление неравенства на положительное число приводит к равносильному неравенству.)

То есть если $n>\frac{1+2\varepsilon}{5\varepsilon}$, то $\left|x_n-a \right|<\varepsilon }$ и число $a$ является пределом последовательности.
На этом надо было поставить ЧТД.
У китайцев есть мудрая пословицы - "не рисуй змее ног".
Пририсовав своему верному доказательству ноги в виде примера на конкретных значениях, в котором замечательно правильно посчитан $N$, автор несколько ухудшил впечатление от своего доказательства. На экзамене придирчивый препод мог бы решить, что он не понимает сути доказательства по определению. Из-за этого могли бы появиться дополнительные вопросы...
То есть это всего лишь совет по тактике сдачи экзамена.
Вот и всё.

[ИС]

я разобрался, спасибо!

[gris]

Maslov писал(а):

... начиная с которого все члены последовательности...

Причём говорил это в каждом конкретном примере, так что, ув. Maslov, не придирайтесь к самому себе . Ваши советы очень даже по делу были

[Maslov]

gris в сообщении #251362 писал(а):

не придирайтесь к самому себе . Ваши советы очень даже по делу были

Спасибо Вам, gris - сняли грех с души

[gris]

Грех только модератор может снять

[Mitrius_Math]

Надо ещё пару раз всё это проделать. Тогда, надеюсь, пойму окончательно... Всем ещё раз спасибо!