Построение треугольника

[Sasha2]

Не совсем понятно, корректна ли такая задача.

Построить треугольник по двум углам и по разности сторон, лежащих против этих углов.

Если дествовать так:
(Ради определенности третью сторону будем называть основанием)

1) Строю меньший из двух заданных углов. Его вершину обозначаю буквой B.
2) На стороне этого угла, не являюшейся основанием откладываем указанную разность. Получаем на этой стороне некоторую точку D.
3) Вершина C лежит на другой стороне этого угла.
4) Вершина A лежит на продолжении BD.
5) Тогда имеет AD=AC.
6) Угол при вершине A мы также знаем.
7) Тогда остается из точки D провести прямую, наклоненную к AD под углом (d-A)/2. Точка пересечения этой прямой с прямой BC и даст вершину C. После этого от CD проводим прямую наклоненную к ней все под тем же углом (d-A)/2 и получаем третью вершину A.

Таким образом один из двух данных углов не используется.
То есть либо
1) Он не нужен
2) Нужно выяснить условие, когда задача непротиворечива.
3) Задача мною решена неправильно.

[venco]

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

6) Угол при вершине A мы также знаем.

Откуда мы его знаем?

Цитата:

7) Тогда остается из точки D провести прямую, наклоненную к AD под углом (d-A)/2.

Что обозначают буквы d и A?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

3) Задача мною решена неправильно.

Решение не читал, но -- явно неправильно. Для однозначного построения треугольника заведомо требуется три параметра (как минимум), а Вы предлагаете обойтись двумя.

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

2) Нужно выяснить условие, когда задача непротиворечива.

Всегда непротиворечива, но с оговоркой: разность должна быть беззнаковой, а для равнобедренного треугольника -- нулевой.

[TOTAL]

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

Построить треугольник по двум углам и по разности сторон, лежащих против этих углов.

Постройте тр-ник по 2-м углам. Затем раздуйте его до нужных размеров.

[VAL]

ewert в сообщении #245377 писал(а):

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

3) Задача мною решена неправильно.

Решение не читал, но -- явно неправильно. Для однозначного построения треугольника заведомо требуется три параметра (как минимум), а Вы предлагаете обойтись двумя.

Решение прочитал. Оно практически правильное (надо лишь заменить d на 2d или скобочки убрать).
Разумеется, в решении использованы все три данных (т.к. в нем используется угол A, который определен углами B и C, но не одним B).

-- 22 сен 2009, 09:56 --

Так что, неправильным является не решение, а утверждение о лишних данных.

ewert в сообщении #245377 писал(а):

Sasha2 в сообщении #245372 писал(а):

2) Нужно выяснить условие, когда задача непротиворечива.

Всегда непротиворечива

Вот уж нет!

[bot]

А что считается противоречивостью? Видимо противоречивой считается та задача на построение, в которой по заданным данным невозможно построить объект. В данном случае по двум углам с точностью до подобия строится единственный треугольник. Задание разности двух сторон даёт коэффициент подобия из которого треугольник строится однозначно. Исключение, как и замечено - равнобедренный треугольник ...

А, ну-да, если углы равны, а разница не ноль или наоборот разница нулевая, а углы разные, то задача на построение противоречива.

-- Вт сен 22, 2009 10:33:05 --

Среагировал только на последнее, не заметив, что пока парился (две пары отвёл), TOTAL уже сказал о подобии.

[VAL]

bot в сообщении #245415 писал(а):

А что считается противоречивостью? Видимо противоречивой считается та задача на построение, в которой по заданным данным невозможно построить объект. В данном случае по двум углам с точностью до подобия строится единственный треугольник. Задание разности двух сторон даёт коэффициент подобия из которого треугольник строится однозначно. Исключение, как и замечено - равнобедренный треугольник ...

А, ну-да, если углы равны, а разница не ноль или наоборот разница нулевая, а углы разные, то задача на построение противоречива.

Почему-то и Вы и Ewert обращают внимание лишь на частные случаи. А если два данных в условии угла в сумме больше (или хотя бы не меньше) развернутого?

[bot]

С Вашей подсказки и не сразу (я специально зачеркнул, а не стёр уже написанное) я сказал "если ..., то ..." - то есть это был только пример. Про ограничение на углы уже не стал говорить - здесь ещё возникают варианты в зависимости от того, допускать или не допускать треугольники, у которых вершины лежат на одной прямой или две вершины совпадают.

[Shtirlic]

Если я правильно понял задачу, у нас есть триугольник АВС, нам известны углы АВС и АСВ и разность АВ-АС. Тогда задача решается довольно легко. Проведем высоту АН, ее можно найти двумя способами: АН=АВ*sin(АВС) и АН=АС*sin(АСВ). Тогда получим систему из двух уравнений: АВ*sin(АВС)=АС*sin(АСВ) и АВ-АС=d, где sin(АВС),sin(АСВ) и d известны. Если система имеет решения, то задача не противоречива. И решив систему мы найдем АВ и АС, найти угол ВАС не проблема, а как дальше построить треугольник я думаю ясно. Если задача не протеворечива то видно, что она имеет единственное решение.

[Sasha2]

Ну прежде всего, конечно же не d, а 2d.
Просто было уже утро, спросонья и недописал 2.
Далее, откуда мы знаем третий угол. А разве знания двух углов недостаточно, чтобы получить знаения третьего. (Это для venco).
Ну и наконец, обосновываем возможность решения.
1) Естественно задача не имеет решения, в даух случаях. В первом, это когда сумма двух заданных углов больше двух прямых, так как сумма углов трегуольника равна двум прямым, а во втором случае, когда два указанные угла равны, а разость сторон отлична от нуля. Понятно, что тогда треугольник должен быть равнобедренный. Также задача имеет бесконечно много решений, если два заданных угла равны, а разность сторон равна нулю. Это по сути дела задача построения треугольника по двум углам.
2) Все указанные построения выполняются ОДНОЗНАЧНО. А прямая DC пересечет BC при условии (2d-A)/2 больше угла B, что также проверяется элементарно.

Вот теперь можно считать, что задача полностью решена.
Спасибо, кто откликнулся.

[bot]

Вы опоздали - уже всё обсудили.

Shtirlic в сообщении #245433 писал(а):

Если система имеет решения, то задача не противоречива

Задача на построение может начинаться с вычислений, однако вычисленное нужно построить.

Shtirlic в сообщении #245433 писал(а):

Если задача не протеворечива то видно, что она имеет единственное решение.

Перечитайте выше. Уже говорили, что задача может быть непротиворечивой и допускать много решений.

[Shtirlic]

Задача не может иметь множество решений, кроме случая равенства углов. Задача совместна когда выполняется следующие условия: 1) сумма двух углов < 180. Это ясно 2) если АВ>АС то и уголАСВ>уголАВС, если АВ=АС то и уголАСВ=уголАВС и если АВ<ВС то и уголАСВ<уголАВС. В остальных случаях она не совместна. Кстати, поправка предыдущему решению, если какой-то из известных углов больше 90 то его синус заменяется на минус косинус!!!

[Sasha2]

А зачем косинусы и синусы?
Задача то на построение ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ.
Ведь не вский синус и косинус можно линейкой и циркулем найти.
Поэтому, и вводить их в рассмотрение не нужно.

[Shtirlic]

Собственно все зависит от условий решения, если нужно построить исходя из наличия только циркуля и линейки. То это тоже не проблема. Но как я понял здесь уже все разобрали.

[ewert]

VAL в сообщении #245420 писал(а):

Почему-то и Вы и Ewert обращают внимание лишь на частные случаи. А если два данных в условии угла в сумме больше (или хотя бы не меньше) развернутого?

А это попросту и откровенно противоречит смыслу задачи. Т.е. в реальной задаче такое -- невозможно.

(флуд, конешно)