Задача по теории чисел

[gris]

С нижними индексами красивее.

$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}....p_s^{a_s}$
$t(n)=(a_1-1)(a_2-1)....(a_s-1)$это неверно

[ИСН]

2 maxmatem:
Как верхний, только наоборот.
Через _

-- Пт, 2009-09-18, 01:05 --

2 gris: не уподобляйтесь, Вы же знаете, как пишется буква тау.

[maxmatem]

$\tau(n)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)$ это верная!
но если $n=2^{3}*1*3=24$, то $\tau(24)=(3+1)(1+1)(1+1)=16$ тогда мне это не ясно!

[ИСН]

maxmatem, ну послушайте, формулу ведь не боги придумали. А люди. Такие же, как мы с Вами. Ну возьмите, проверьте руками, сколько там делителей на самом деле, как, чего.

[maxmatem]

ну я и посчитал что в числе 24 их 6! значит задача решена верно?

[ИСН]

Не посчитали, не 6, и не значит. Всё не так.
(Под "проверить руками" я подразумевал: выписать на бумажке числа от 1 до 24, вычеркнуть лишние, посчитать нужные.)

[maxmatem]

а 18 верно?

[Trotil]

maxmatem

Если от 1 до 17 нет такого числа - значит верно

[VAL]

maxmatem в сообщении #244280 писал(а):

$\tau(n)=(a_1+1)(a_2+1)...(a_s+1)$ это верная!
но если $n=2^{3}*1*3=24$, то $\tau(24)=(3+1)(1+1)(1+1)=16$ тогда мне это не ясно!

Так вы и единицу в простые числа записали?! Жуть!

Ровно 6 натуральных делителей имеют либо числа вида $p^5$, либо числа вида $p^2q$. Остается взять самое маленькое $p$ для первого случая и самые маленькие $p$ и $q$ для второго, а затем сравнить результаты.

[gris]

ИСН, а Вы за постепенство переживали

Тут уже многими авторитетами высказывалось мнение, и я с ним скромно соглашусь. Школьникам, а как я понял maxmatem для 9-го класса старается, не нужно начинать с вывода общих формул. Им надо сначала врукопашную посчитать количество делителей для разных чисел, понять, откуда они берутся, посмотреть, как повышение степени одного из сомножителей влияет на эту тау. И потом они постепенно сами выведут требуемую формулу. И будут радоваться, проверяя свои частные результаты. Не забывая, что 1 и само число также являются делителями.

[Батороев]

Здесь было сообщение, неверное с методической точки зрения.
Автор сообщения с ходу не въехал в то, что топик-стартера постепенно подводят к формуле.

[VAL]

gris в сообщении #244311 писал(а):

ИСН, а Вы за постепенство переживали

Тут уже многими авторитетами высказывалось мнение, и я с ним скромно соглашусь. Школьникам, а как я понял maxmatem для 9-го класса старается, не нужно начинать с вывода общих формул.

В принципе и я согласен с этим мнением.
Но в данном случае топикстартер уже отталкивался от общей формулы (правда, при этом он то записывал единицу в простые, а то вычитал единички из показателей).
И еще. Мой опыт показывает. Чтобы подвести школьника к выводу не вообще какой-то формулы, а именно формулы для $\tau(n)$ гораздо эффективнее не перебирать делители конкретных чисел, а спрашивать: сколько натуральных делителей у чисел вида $p^{\alpha}$; сколько делителей у чисел вида $p^{\alpha}q^{\beta}$ и т.д.

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #244263 писал(а):

Вот я так и пытался. Продать число 28, потом 20...

И что, кто-нибудь купил? Почём ныне числа продают?

[ИСН]

Вообще - не знаю, а я бы продал за одно движение мысли. Но - - -

[Батороев]

Боюсь, что все запутали топик-стартера.
И я - в том числе, когда написал предыдущее сообщение, которое затем стер, но теперь воспроизведу вновь:

Цитата:

Натуральные делители числа $N=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot...\cdot p_s^{a_s}$ можно найти из выражения:
$ (p_1^{a_1}+p_1^{a_1-1}+...+p_1+1)\cdot (p_2^{a_2}+p_2^{a_2-1}+...+p_2+1)\cdot...\cdot (p_s^{a_s}+p_1^{a_s-1}+...+p_s+1) $
Т.е. задача сводится к тому, чтобы
во-первых, подобрать такие $a$ и $s$, чтобы при перемножении скобок получить 6 слагаемых;
во-вторых, подобрать $p$ такие, чтобы число $N$ было минимальным.

Так вот, наша общая ошибка кроется в следующем:

gris в сообщении #244311 писал(а):

Не забывая, что 1 и само число также являются делителями.

Само число не относится к числу своих делителей, т.к. в противном случае не будет совершенных чисел.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы
во-первых, подобрать $a$ и $s$ такие, чтобы при перемножении скобок получить 7 слагаемых (само число $N$ и 6 его делителей);
во-вторых, подобрать $p$ такие, чтобы число $N$ было минимальным.