Мне думается, у
natalya_1 доказательство для тройки сложилось. Попробую переизложить.
п.1. Для натуральных взаимнопростых
,
,
,
, рассмотрим возможное равенство:
(1)п.2. Для натуральных
и
справедливо:
(2)(Оффтоп)
это требуется доказать, natalya_1 выше говорила, что док-во простое, хотя у меня честно не получилось
п.3. Перемножим левые и правые части равенств
(2), получим:
(3)При этом
,
,
(Оффтоп)
Доказательство:
,
, следовательно,
.
,
, следовательно,
,
п.4. Перемножим левые и правые части равенств
(1) и
(3), получим:
и, следовательно:
(4)Левая и правая части равенства
(4) подобны и соответствуют функции
и соотношению
. При этом из
(4) следует также возможность
.
Рассмотрим оба варианта
и
по отдельности.
п.5. :
или
тогда
(5)при этом знаменатели в
(5) не могут быть равны нулю, что доказано в п.3.
Соотношение
(5) соответствует равенству трёх значений
функции
.
Исследуем функцию
и находим точку разрыва
и единственный экстремум
в диапазоне
. Следовательно для трёх разных
,
,
соотношение
не возможно, и значит невозможно
.
п.6. :
между
и
существует такое
,
, что
.
Т.е.
, или
. Тогда:
(6)Из
(6) следует, что
, но т.к.
, то остается
.
Выражение
(6) соответствует рассмотренной в п.5. функции
, у которой в первой четверти возможны только два корня, меньший из которых всегда меньше
. А выражению
поставим в соответствие функцию
. Две функции
и
пересекаются только в одной точке
, в которой
. Если меньший корень
уравнения
, будет такой, что
, то будет найдена единственная удовлетворяющая нужным условиям точка. И действительно
. При этом второй больший корень
и
.
(Оффтоп)
Иллюстрация:
Т.е. выражение
(6) возможно только в единственном варианте, соответствующем
и
.
Далее при
решаем систему
(2), получаем
и подставляем их и
в исходное
(1), которое преобразуется в уравнение
, не разрешимое в натуральных числах.
Следовательно равенство
невозможно.
п.7. Совокупно из п.5. и п.6. следует невозможность
(1).