Мне думается, у
natalya_1 доказательство для тройки сложилось. Попробую переизложить.
п.1. Для натуральных взаимнопростых

,

,

,

, рассмотрим возможное равенство:
(1)п.2. Для натуральных

и

справедливо:
(2)(Оффтоп)
это требуется доказать, natalya_1 выше говорила, что док-во простое, хотя у меня честно не получилось
п.3. Перемножим левые и правые части равенств
(2), получим:
(3)При этом

,

,

(Оффтоп)
Доказательство:


,

, следовательно,

.

,

, следовательно,

,

п.4. Перемножим левые и правые части равенств
(1) и
(3), получим:

и, следовательно:
(4)Левая и правая части равенства
(4) подобны и соответствуют функции

и соотношению

. При этом из
(4) следует также возможность

.
Рассмотрим оба варианта

и

по отдельности.
п.5. 
:

или

тогда
(5)при этом знаменатели в
(5) не могут быть равны нулю, что доказано в п.3.
Соотношение
(5) соответствует равенству трёх значений

функции

.
Исследуем функцию

и находим точку разрыва

и единственный экстремум

в диапазоне
![$]\frac{p}{d},\infty]$ $]\frac{p}{d},\infty]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/6/e16f284ab2c32e405a93556ebdab540182.png)
. Следовательно для трёх разных

,

,

соотношение

не возможно, и значит невозможно

.
п.6. 
:
между

и

существует такое

,

, что

.
Т.е.

, или

. Тогда:
(6)Из
(6) следует, что

, но т.к.

, то остается

.
Выражение
(6) соответствует рассмотренной в п.5. функции

, у которой в первой четверти возможны только два корня, меньший из которых всегда меньше

. А выражению

поставим в соответствие функцию

. Две функции

и

пересекаются только в одной точке

, в которой

. Если меньший корень

уравнения

, будет такой, что

, то будет найдена единственная удовлетворяющая нужным условиям точка. И действительно

. При этом второй больший корень

и

.
(Оффтоп)
Иллюстрация:

Т.е. выражение
(6) возможно только в единственном варианте, соответствующем

и

.
Далее при

решаем систему
(2), получаем

и подставляем их и

в исходное
(1), которое преобразуется в уравнение

, не разрешимое в натуральных числах.
Следовательно равенство

невозможно.
п.7. Совокупно из п.5. и п.6. следует невозможность
(1).