пары натуральных чисел с операциями

[rishelie]

Что представляет собой такая вот конструкция?
На упорядоченных парах целых неотрицательных чисел определены две операции:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ и $(a,b)(c,d)=(|ac-bd|,ad+bc)$.
Есть ли какие-то интересные свойства у данных операций?
Поскольку произведение напоминает аналогичную операцию над комплексными числами, может, и тут есть некие интересности?
Из очевидных свойств:
есть единица $(1,0)$ и симметрическая единица $(0,1)$, для которой выполняется равенство $(a,b)(0,1)=(b,a)$.
Простыми (т.е. имеющими ровно два делителя - себя и единицу) являются числа $(p,0)$ и $(0,p)$ для простого $p$.
Возможно, здесь верна теорема о единственности разложения на простые сомножители будет верна с точностью до симметрий.

[Someone]

А кольцом это будет? То есть, аксиома дистрибутивности ($a(b+c)=ab+ac$) выполняется?

[rishelie]

Someone в сообщении #242904 писал(а):

А кольцом это будет? То есть, аксиома дистрибутивности ($a(b+c)=ab+ac$) выполняется?

нет. похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

[Профессор Снэйп]

А почему эту конструкцию надо обязательно над натуральными числами рассматривать? Я бы взял целые. Натуральные числа даже сами по себе кольцо не образуют...

[rishelie]

Можно и над целыми Только тогда в модуле смысл пропадет. Вообще, мне просто надоело читать про $0^0$ и иже с ним, и я подумал, что школьникам полезно в алгебре поупражняться

[Профессор Снэйп]

Угу. Если модуль убрать, можно $(a,b)$ интерпретировать как $a + bi$. Гауссовы целые, ничего нового...

А если всё же над целыми, но модуль оставить?..

[ewert]

rishelie в сообщении #242911 писал(а):

похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

А что такое "$\leqslant$"?

[Профессор Снэйп]

Я так понял, что имеется в виду покомпонентный порядок на $\mathbb{N}^2$.

В силу того, что если в определении умножения убрать модуль и рассматривать целые числа вместо натуральных, то получится, по сути, кольцо $\mathbb{Z}[i]$... Во вторых компонентах пар будет равенство, а в первых --- указанное неравенство.

[rishelie]

ewert в сообщении #242988 писал(а):

rishelie в сообщении #242911 писал(а):

похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

А что такое "$\leqslant$"?

пардон, имелась ввиду первая координата вторые совпадают

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #243003 писал(а):

пардон, имелась ввиду первая координата вторые совпадают

Опередил

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #242984 писал(а):

А если всё же над целыми, но модуль оставить?..

у единицы $(1,0)$ получаются делители:
$(1,0)^2=(1,0)$
$(-1,0)^2=(1,0)$
$(1,0)(-1,0)=(1,0)$
то же самое верно, если единички со знаками стоят на второй позиции. Иначе говоря, делителями будут все пары $(a,b)$ с ограничением $a^2+b^2=1$, а обратными к ним элементами - $(a,b)$ и $(-a,-b)$, т.е. с точностью до знака.
Да и единица, собственно, уже не будет единицей, ибо $(a,b)(1,0)=(|a|,b)$

вообще, по-моему, нехорошо, когда область значений произведения (или сложения) сужается априори а мы модулем загоняем первую координату в положительные..

[Свободный Художник]

rishelie в сообщении #242900 писал(а):

Что представляет собой такая вот конструкция?
На упорядоченных парах целых неотрицательных чисел определены две операции:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Эта операция называется "медиантой"

-- Вс сен 13, 2009 18:20:02 --

Прямая сумма двух полугрупп.

-- Вс сен 13, 2009 18:23:39 --

Сложение двух звезд "звездного неба":
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html
(как двух векторов с неотрицательными целыми координатами).