2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 12:25 
Аватара пользователя
Что представляет собой такая вот конструкция?
На упорядоченных парах целых неотрицательных чисел определены две операции:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ и $(a,b)(c,d)=(|ac-bd|,ad+bc)$.
Есть ли какие-то интересные свойства у данных операций?
Поскольку произведение напоминает аналогичную операцию над комплексными числами, может, и тут есть некие интересности? :)
Из очевидных свойств:
есть единица $(1,0)$ и симметрическая единица $(0,1)$, для которой выполняется равенство $(a,b)(0,1)=(b,a)$.
Простыми (т.е. имеющими ровно два делителя - себя и единицу) являются числа $(p,0)$ и $(0,p)$ для простого $p$.
Возможно, здесь верна теорема о единственности разложения на простые сомножители будет верна с точностью до симметрий.

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 12:32 
Аватара пользователя
А кольцом это будет? То есть, аксиома дистрибутивности ($a(b+c)=ab+ac$) выполняется?

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 12:50 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #242904 писал(а):
А кольцом это будет? То есть, аксиома дистрибутивности ($a(b+c)=ab+ac$) выполняется?

нет. похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 13:44 
Аватара пользователя
А почему эту конструкцию надо обязательно над натуральными числами рассматривать? Я бы взял целые. Натуральные числа даже сами по себе кольцо не образуют...

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:27 
Аватара пользователя
Можно и над целыми :) Только тогда в модуле смысл пропадет. Вообще, мне просто надоело читать про $0^0$ и иже с ним, и я подумал, что школьникам полезно в алгебре поупражняться :)

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:31 
Аватара пользователя
Угу. Если модуль убрать, можно $(a,b)$ интерпретировать как $a + bi$. Гауссовы целые, ничего нового...

А если всё же над целыми, но модуль оставить?..

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:36 
rishelie в сообщении #242911 писал(а):
похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

А что такое "$\leqslant$"?

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:50 
Аватара пользователя
Я так понял, что имеется в виду покомпонентный порядок на $\mathbb{N}^2$.

В силу того, что если в определении умножения убрать модуль и рассматривать целые числа вместо натуральных, то получится, по сути, кольцо $\mathbb{Z}[i]$... Во вторых компонентах пар будет равенство, а в первых --- указанное неравенство.

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:54 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #242988 писал(а):
rishelie в сообщении #242911 писал(а):
похоже, что верно только $a(b+c)\leqslant(ab+ac)$.

А что такое "$\leqslant$"?


пардон, имелась ввиду первая координата :) вторые совпадают

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 15:55 
Аватара пользователя
rishelie в сообщении #243003 писал(а):
пардон, имелась ввиду первая координата :) вторые совпадают


Опередил :(

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 16:35 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #242984 писал(а):
А если всё же над целыми, но модуль оставить?..


у единицы $(1,0)$ получаются делители:
$(1,0)^2=(1,0)$
$(-1,0)^2=(1,0)$
$(1,0)(-1,0)=(1,0)$
то же самое верно, если единички со знаками стоят на второй позиции. Иначе говоря, делителями будут все пары $(a,b)$ с ограничением $a^2+b^2=1$, а обратными к ним элементами - $(a,b)$ и $(-a,-b)$, т.е. с точностью до знака.
Да и единица, собственно, уже не будет единицей, ибо $(a,b)(1,0)=(|a|,b)$

вообще, по-моему, нехорошо, когда область значений произведения (или сложения) сужается априори :) а мы модулем загоняем первую координату в положительные..

 
 
 
 Re: пары натуральных чисел с операциями
Сообщение13.09.2009, 17:17 
rishelie в сообщении #242900 писал(а):
Что представляет собой такая вот конструкция?
На упорядоченных парах целых неотрицательных чисел определены две операции:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Эта операция называется "медиантой"

-- Вс сен 13, 2009 18:20:02 --

Прямая сумма двух полугрупп. :)

-- Вс сен 13, 2009 18:23:39 --

Сложение двух звезд "звездного неба":
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/1/2.html
(как двух векторов с неотрицательными целыми координатами).

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group