Массивные калибровочные поля и преобразования сдвига

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #243491 писал(а):

Прошу меня извинить, но это определенно правильно. Мы с самого начала написали именно это и ничего кроме.

Могу только повторить тоже самое. Мы записали сначала калибровочно инвариантный лагранжиан, затем фиксировали калибровку и получили лагранжиан Прока. Есть большая разница, впихнули вы массовый член просто сразу, в этом случае нет калибровочной инвариантности, или вы получили тот же лагранжиан из калибровочно инвариантного фиксацией этой инвариантности. В этом весь смысл. И в Хиггсе это делают. Если вы опять не согласны давайте разберем механизм Хиггса.

-- Вт сен 15, 2009 00:00:03 --

Рассмотрим абелев вариант механизма Хиггса. Калибровочно инвариантный лагранжиан для комплексного поля $\psi=R\exp(i\phi)$ в радиальных переменных выглядит так
$L=(\partial( R))^2+R^2(\partial \phi-A)^2 - F^2 -V(R)$
$\phi\to \phi+a(x)$, $R \to R$, $A \to A+\partial a$
фиксируем калибровку $\phi=0$, тогда
$L=(\partial( R))^2+R^2 A^2 - F^2 -V(R)$ и далее сдвиг на минимум потенциала $R(x)=m+\chi(x)$
дает массовый член и хиггсово поле. Вот и весь механизм.
Теперь примите $R=const$ и повторите всё вышеописанное. Сдвиг делать не надо. Получите обсуждаемый сюжет. Без хиггсов и потенциала.

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #243499 писал(а):

Рассмотрим абелев вариант механизма Хиггса. Калибровочно инвариантный лагранжиан для комплексного поля $\psi=R\exp(i\phi)$ в радиальных переменных выглядит так
$L=(\partial( R))^2+R^2(\partial \phi-A)^2 - F^2 -V(R)$
$\phi\to \phi+a(x)$, $R \to R$, $A \to A+\partial a$
фиксируем калибровку $\phi=0$, тогда
$L=(\partial( R))^2+R^2 A^2 - F^2 -V(R)$ и далее сдвиг на минимум потенциала $R(x)=m+\chi(x)$
дает массовый член и хиггсово поле. Вот и весь механизм.

Здесь перестройка эффективного потенциала действительно вызывает изменение физики. Имеем две существенно различные картины при низких и высоких энергиях. (Это, конечно, если имеем представление откуда берется потенциал)

ИгорЪ в сообщении #243499 писал(а):

Теперь примите $R=const$ и повторите всё вышеописанное. Сдвиг делать не надо. Получите обсуждаемый сюжет. Без хиггсов и потенциала.

А можно и сделать, теория-то к сдвигу строго безразлична... Здесь поле всегда массивно. Физика всегда одна и та же.

ИгорЪ в сообщении #243499 писал(а):

Могу только повторить тоже самое.

Истинность утверждений обычно крайне слабо зависит от количества их повторений вслух.

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #243518 писал(а):

Здесь поле всегда массивно. Физика всегда одна и та же.

Согласен. Изменения физики в данном описании нет. Но массивность поля описана корректно, мягко, как пишут в книгах. Со свойством перенормируемости. Как в Хиггсе. Согласны? Чтобы внести изменяющуюся физику, надо рассматривать более изощренный вариант с так называемой контракцией калибровочной группы. Вы знакомы с контракциями?

Утундрий в сообщении #243518 писал(а):

Истинность утверждений обычно крайне слабо зависит от количества их повторений вслух.

Ошибочность тоже.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #243480 писал(а):

Задача-утверждение в первом посте

Если это задача, то вы её решили, поздравляю. Но ценности никакой в полученном решении нет. Да и в задаче тоже.

-- 15.09.2009 15:32:12 --

ИгорЪ в сообщении #243499 писал(а):

Есть большая разница, впихнули вы массовый член просто сразу, в этом случае нет калибровочной инвариантности, или вы получили тот же лагранжиан из калибровочно инвариантного фиксацией этой инвариантности. В этом весь смысл. И в Хиггсе это делают.

В вашем случае - нет разницы. И верно, что в этой разнице весь смысл. Так что если говорить о смысле (а не о вашей бессмысленной задаче), вот тут вы его не достигли.

ИгорЪ в сообщении #243523 писал(а):

Но массивность поля описана корректно, мягко, как пишут в книгах.

Простите, это бред. Слова "мягко" и "жёстко" в физике относятся к величине энергии или импульса. В математике - ещё хлеще: к непрерывности функции и её производных в точке. У вас нет ни того, ни другого.

ИгорЪ в сообщении #243523 писал(а):

Со свойством перенормируемости. Как в Хиггсе. Согласны?

Свойство перенормируемости не берётся по щучьему велению. Оно берётся из того, что

Утундрий в сообщении #243518 писал(а):

Имеем две существенно различные картины при низких и высоких энергиях.

В вашем случае этого нет, и перенормируемости соответственно тоже нет.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #243604 писал(а):

В вашем случае - нет разницы.

Можете объяснить почему?

ИгорЪ в сообщении #243499 писал(а):

Рассмотрим абелев вариант механизма Хиггса. Калибровочно инвариантный лагранжиан для комплексного поля $\psi=R\exp(i\phi)$ в радиальных переменных выглядит так
$L=(\partial( R))^2+R^2(\partial \phi-A)^2 - F^2 -V(R)$
$\phi\to \phi+a(x)$, $R \to R$, $A \to A+\partial a$
фиксируем калибровку $\phi=0$, тогда
$L=(\partial( R))^2+R^2 A^2 - F^2 -V(R)$ и далее сдвиг на минимум потенциала $R(x)=m+\chi(x)$
дает массовый член и хиггсово поле. Вот и весь механизм.
Теперь примите $R=const$ и повторите всё вышеописанное. Сдвиг делать не надо. Получите обсуждаемый сюжет. Без хиггсов и потенциала.

Покажите, где конкретно, в этом рассуждении то, что вам не нравится по сравнении с Хиггсом

Munin в сообщении #243604 писал(а):

Простите, это бред. Слова "мягко" и "жёстко" в физике относятся к величине энергии или импульса.

Прощаю . Вы чтож думаете я эти слова сам придумываю? У Окуня черным по белому в Лептонах и кварках (99) на стр. 194 так написано. Я ведь не виноват, что физики так лирически разбрасываются прилагательными, а потом придираются, дескать неправильно употребил?

Munin в сообщении #243604 писал(а):

В вашем случае этого нет, и перенормируемости соответственно тоже нет.

А вот Славнов считает что в абелевом случае перенормируемость у этого механизма есть A.A.Slavnov, Theor.Math.Phys. 10 (1972) 201, и я ему верю.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #243614 писал(а):

Можете объяснить почему?

Потому что в вашем случае нет "двух существенно различных картин при низких и высоких энергиях". Есть только одна картина, совпадающая с отдельно взятым массивным полем.

ИгорЪ в сообщении #243614 писал(а):

Прощаю . Вы чтож думаете я эти слова сам придумываю? У Окуня черным по белому в Лептонах и кварках (99) на стр. 194 так написано. Я ведь не виноват, что физики так лирически разбрасываются прилагательными, а потом придираются, дескать неправильно употребил?

Проблема в том, что физики за каждым прилагательным подразумевают смысл, а вы за ними повторяете, не подразумевая того же смысла. Просто оттого, что повторять хочется. Вот у вас и получается нелепость. В данном случае вы не делали разницы между массивностью поля и введением массы (в теорию). У Окуня последнее.

ИгорЪ в сообщении #243614 писал(а):

А вот Славнов считает что в абелевом случае перенормируемость у этого механизма есть A.A.Slavnov, Theor.Math.Phys. 10 (1972) 201, и я ему верю.

Ссылка http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml ... n_lang=rus
Щас посмотрим.

-- 15.09.2009 17:46:59 --

ИгорЪ в сообщении #243614 писал(а):

А вот Славнов считает что в абелевом случае перенормируемость у этого механизма есть A.A.Slavnov, Theor.Math.Phys. 10 (1972) 201, и я ему верю.

И где он там это говорит?

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #243620 писал(а):

Потому что в вашем случае нет "двух существенно различных картин при низких и высоких энергиях". Есть только одна картина, совпадающая с отдельно взятым массивным полем.

Покажите, если не трудно, на примере механизма Хиггса, где эти разные картины видны в лагранжиане.

Munin в сообщении #243620 писал(а):

Проблема в том, что физики за каждым прилагательным подразумевают смысл, а вы за ними повторяете, не подразумевая того же смысла. Просто оттого, что повторять хочется. Вот у вас и получается нелепость. В данном случае вы не делали разницы между массивностью поля и введением массы (в теорию). У Окуня последнее.

Я тоже имел ввиду последнее. Просто вы до сих пор считаете, что масса у меня вводится прямо и жестко. Это не так. Она вводится фиксацией калибровки в калибровочно инвариантном лагранжиане.

Munin в сообщении #243620 писал(а):

И где он там это говорит?

Действительно нет, конечно
извиняюсь, что послал не проверив, но здесь http://arxiv.org/abs/hep-th/0505195 он вроде сам ссылку эту дал. Тут же, во введении кратко говорится о самом механизме и перенормируемости в абелевом случае.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #243653 писал(а):

Покажите, если не трудно, на примере механизма Хиггса, где эти разные картины видны в лагранжиане.

Показываю: при малых $\phi$ потенциал упрощается до $\frac{m^2}{\lambda}(\phi-\phi_0)^2,$ а при больших - до $\lambda\phi^4.$

ИгорЪ в сообщении #243653 писал(а):

Я тоже имел ввиду последнее. Просто вы до сих пор считаете, что масса у меня вводится прямо и жестко.

Нет. Она у вас вообще не вводится. Вы не записали двух моделей, без массы и с. Вы записали только одну модель, с массой.

ИгорЪ в сообщении #243653 писал(а):

Она вводится фиксацией калибровки в калибровочно инвариантном лагранжиане.

Фиксацией калибровки вообще ничего физического вводиться не может, поскольку это нефизическое действие.

И перестаньте ссылаться на Славнова. Вы сами не разбираетесь в перенормируемости - поэтому и его комментариев понять вряд ли можете. Так что ваши ссылки приводят только к потере времени.

[ИгорЪ]

Большие $\phi$ это большие амплитуды, разве это большие энергии? Остальное понятно, спасибо. Вы считаете , что основное содержание механизма Хиггса это две модели в одном лагранжиане? Но ведь это зависит от вида потенциала, причем "ручного". Туда можно хоть десять моделей запихать. Я полагал, что главное в калибровочно инвариантном введении массы, чем и занимался.

Munin в сообщении #243679 писал(а):

И перестаньте ссылаться на Славнова. Вы сами не разбираетесь в перенормируемости - поэтому и его комментариев понять вряд ли можете.

Истинность комментарий Славнова не зависит от моего образования.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #243770 писал(а):

Большие $\phi$ это большие амплитуды, разве это большие энергии?

Да. Возьмите из лагранжиана энергию, и убедитесь.

ИгорЪ в сообщении #243770 писал(а):

Вы считаете , что основное содержание механизма Хиггса это две модели в одном лагранжиане?

Основное содержание механизма нарушения симметрии - это "две модели в одном лагранжиане".

ИгорЪ в сообщении #243770 писал(а):

Но ведь это зависит от вида потенциала, причем "ручного".

Верно, поэтому туда запихивают модели очень осторожно.

ИгорЪ в сообщении #243770 писал(а):

Я полагал, что главное в калибровочно инвариантном введении массы, чем и занимался.

Нет. Главное - это сохранить для больших энергий калибровочно инвариантную теорию. А массу как раз можно ввести "руками". Собственно, так и делалось: бралась феноменология, и из неё набрасывался какой-то лагранжиан. Потом исследовался на перенормируемость.

ИгорЪ в сообщении #243770 писал(а):

Истинность комментарий Славнова не зависит от моего образования.

Однако их понимание - зависит. Вы можете не уловить разницы между формулировками, ключевой для смысла комментария. Это вечная беда при залезании в не свою область, надо долго вникать, чтобы разбираться, что и почему произносится, что важно, а что нет.

-- 16.09.2009 16:46:44 --

Munin в сообщении #243814 писал(а):

Да. Возьмите из лагранжиана энергию, и убедитесь.

Точнее, при больших энергиях потенциал при малых $\phi$ не играет роли. А при больших $\phi$ - может играть. То есть там, где я написал "при малых $\phi,$ при больших $\phi$", надо читать "при малых $V(\phi),$ при больших $V(\phi)$".

[ИгорЪ]

Ну хорошо. Все критические замечания, если я правильно понял, свелись к отсутствию чегото, что привносит две модели в предлагаемый лагранжиан. Одна модель с массой, другая без. В случае механизма Хиггса-это чтото есть хиггсово поле с подобранным специально самодействием, таким, что при малых энергиях масса есть и у хиггсов и у калибровочного поля, при больших нет. (Большие энергии реализуются только в космологии при больших температурах или при высокоэнергетичных столкновениях тоже, или это одно и тоже? Это я не понимаю, если можно разъясните или отошлите куданить.) Важно ли наличие двух моделей для перенормируемости я сейчас изучаю по Ициксону, если есть более понятное изложение буду благодарен. Но вроде достаточно калибровочной инвариантности начального лагранжиана.
Две модели в обсуждаемый сюжет вводятся так, собственно отсюда только и начинается моё скромное творчество, а всё до сих пор сделано Штюкельбергом.
Пусть поле $\phi^G^{(e)}$ преобразуется группой $G^{(e)}$, где $e$ некоторый параметр такой, что при разных его значениях группы разные. Рассмотрим случай когда групп две, скажем $SU(2)$ для всех $e$ кроме нуля и $E(2)$ - евклидова группа движений плоскости для $e=0$. Известно, это называется контракция, что можно ввести в первую группу параметр так, что при устремлении его к нулю получалась вторая группа. Например $SO(3,2)$ можно перевести так в $ISO(3,1)$.
Пусть лагранжиан нашего поля инвариантен относительно преобразований группы $G^{(e)}$. Локализуя его имеем теорию с разными калибровочными группами при разных значения параметра $e$. Група $E(2)$ имеет сдвиги, а значит при локализации возникнут массивные калибровочные поля при нулевом значении параметра, при всех других значениях будет группа $SU(2)$ и поля будут безмассовые. Физический смысл параметра , видимо, температурный типа $(1-T/T_c)$. Изменяя его имеем разные модели, то без массы то с массой, что и требовалось. Ручной потенциал не нужен, роль хиггсова поля выполняет параметр $e$, не целое дополнительное поле. Жду критики!

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #244156 писал(а):

Большие энергии реализуются только в космологии при больших температурах или при высокоэнергетичных столкновениях тоже, или это одно и тоже? Это я не понимаю, если можно разъясните или отошлите куданить.

Большие энергии реализуются в частности в космологии или при высокоэнергетических столкновениях. Но не только. Это только случаи, когда эти энергии, реализуясь, "выползают наружу" в непосредственно измеримые величины. А так большие энергии реализуются всегда, поскольку предполагается, что теория есть математически определённая конструкция. То есть: существуют поля как функции в пространстве-времени, и лагранжиан задаёт взаимодействие между ними (а не стоит рядом не при делах). Для этого требуется, чтобы ряд по теории возмущений, который только мы и можем считать, и который строится по этому лагранжиану, сходился (с некоторыми уточнениями, это и называется перенормируемость). А последовательные члены этого ряда (кроме первого - древесного приближения, то есть приближения с 1, 2 и т. д. петлями) включают в себя интегрирование по энергиям и импульсам до бесконечности. Так что поведение лагранжиана на бесконечности определяет поведение этих интегралов, и таким образом, ряда по теории возмущений. Отослать я могу к Пескину-Шрёдеру или к Вайнбергу. Впрочем, может быть, и у Ициксона это написано. Вообще это всё рассказано в любой книге по КТП, с того или другого конца, так что советы по литературе вы можете получить разные, но взаимозаменимые.

-- 17.09.2009 19:33:30 --

ИгорЪ в сообщении #244156 писал(а):

Пусть поле $\phi^G^{(e)}$ преобразуется группой $G^{(e)}$, где $e$ некоторый параметр такой, что при разных его значениях группы разные. Рассмотрим случай когда групп две, скажем $SU(2)$ для всех $e$ кроме нуля и $E(2)$ - евклидова группа движений плоскости для $e=0$. Известно, это называется контракция, что можно ввести в первую группу параметр так, что при устремлении его к нулю получалась вторая группа. Например $SO(3,2)$ можно перевести так в $ISO(3,1)$.
Пусть лагранжиан нашего поля инвариантен относительно преобразований группы $G^{(e)}$. Локализуя его имеем теорию с разными калибровочными группами при разных значения параметра $e$. Група $E(2)$ имеет сдвиги, а значит при локализации возникнут массивные калибровочные поля при нулевом значении параметра, при всех других значениях будет группа $SU(2)$ и поля будут безмассовые. Физический смысл параметра , видимо, температурный типа $(1-T/T_c)$. Изменяя его имеем разные модели, то без массы то с массой, что и требовалось. Ручной потенциал не нужен, роль хиггсова поля выполняет параметр $e$, не целое дополнительное поле. Жду критики!

Вам нужно посмотреть, как будет меняться $\phi^G^{(e)}$ и $\mathcal{L}(\phi^G^{(e)})$ при переходе $e\to 0.$ Боюсь, здесь вы обнаружите, что у вас будет меняться асимптотическое поведение $V(\phi^G^{(e)})$ на бесконечности. А именно оно обеспечивало перенормируемость в случае $\mathrm{SU}(2)$ группы. Так что либо вы с перенормируемостью просто прощаетесь (в худшем случае), либо вам её придётся доказывать дополнительно и самому. А это дело непростое :-( (Известно только несколько удачных результатов: калибровочная теория, Хиггс, суперсимметрия.)

-- 17.09.2009 19:34:54 --

Пользуясь случаем, выражаю благодарность Утундрию, участие которого помогло сдвинуть обсуждение с мёртвой точки.

[ИгорЪ]

Потенциала нет!

[Munin]

Ну лагранжиан-то есть?

[ИгорЪ]

Даже два в одном, и разумеется требуют исследования на перенормируемость.