Вы меня в эти тонкости не посвятили.
Да, не посвятил. Более того, я зачем-то ерунду там написал насчёт некорректность и неограниченности, а редактировать уже поздно, ну хоть сейчас. Одномерный оператор с кулоновским потенциалом в действительности и корректен, и полуограничен. Специфика же именно кулоновского потенциала (по сравнению с более слабыми особенностями в нуле, например
) в том, что
вынужденно приходится ставить нулевое граничное условие в начале координат. Тем самым задача распадается на две одинаковые и независимые -- на левой и на правой полуосях. Соответственно, дискретная часть спектра оказывается двукратно вырожденной.
В таком случае, по мере того, как потенциал будет приближаться к кулоновскому, уровни будут приближаться к водородным.
Вовсе не к водородным, с чего бы это. Речь ведь об одномерном кулоне, а не трёхмерном.
Фактически там дело будет обстоять так. По мере приближения потенциала к чистому кулону уровни дискретного спектра (и соотв. волновые функции) будут приближаться к уровням предельной задачи -- той, что с нулевым граничным условиям в нуле. Соответственно, они будут "всё более двукратно вырожденными", т.е. будут идти парами, расстояние между которыми стремится к нулю. Хотя формального вырождения, конечно, не будет, и в каждой паре одно состояние будет чётным, второе -- нечётным.
Но! с одной существенной оговоркой. Все эти утверждения верны для всех состояний,
кроме основного. Основной же уровень отрывается от всех остальных и уходит на минус бесконечность.
Лирически это можно интерпретировать так. В основном состоянии электрон садится на дно потенциальной ямы и всё более и более там локализуется. Во всех же остальных связанных состояниях он шастает туда-сюда в пределах практически постоянной области (естественно, тем более широкой, чем этот уровень выше), но
всё быстрее проскакивая при этом центр притяжения. Это выражается в том, что в пределе всё-таки устанавливается нулевое граничное условие -- а значит, и вероятность обнаружить его в окрестности нуля становится всё меньше.
(Только не придирайтесь, пожалуйста, к словам, это всего лишь лирика.)