2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Рекуррентная формула для функций Bessel'я
Сообщение03.07.2009, 12:59 
Аватара пользователя
Используя определение функции Bessel'я первого рода через определённый интеграл:
$J_k(m)=\frac 1 \pi \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)}dx$
никак не могу доказать рекуррентную формулу
$\frac {2k} m J_k(m)=J_{k-1}(m)+J_{k+1}(m)$
Пробовал в тупую лоб в лоб и вышел на необходимость доказательста равенства следующих интегралов:
$
\int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)} \cos x dx = \frac k m \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)}dx
$
Доказать это равенство у меня не получается.
Есть идеи?

 
 
 
 Re: Рекуррентная формула для функций Bessel'я
Сообщение03.07.2009, 13:18 
Аватара пользователя
Alhimik в сообщении #226282 писал(а):
Есть идеи?

Найдите производную от $\sin {(m \sin x - kx)}.$ Хорошая идея?

 
 
 
 Re: Рекуррентная формула для функций Bessel'я
Сообщение03.07.2009, 14:09 
Аватара пользователя
Идея ну просто замечательная.
$
\frac d {dx} \left [ \sin {(m \sin x - kx )} \right ] = m \cos {(m \sin x - kx)} \cos x - k \cos {(m \sin x - kx)}
$
Из чего следует, что
$
\sin {(m \sin x -kx)} |_0^{\pi}=m \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)} \cos x dx - k \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx )}dx
$
В левой части - 0, осталось только разнести по сторонам и поделить на m.
Спасибо большое.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group