Рекуррентная формула для функций Bessel'я

[Alhimik]

Используя определение функции Bessel'я первого рода через определённый интеграл:
$J_k(m)=\frac 1 \pi \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)}dx$
никак не могу доказать рекуррентную формулу
$\frac {2k} m J_k(m)=J_{k-1}(m)+J_{k+1}(m)$
Пробовал в тупую лоб в лоб и вышел на необходимость доказательста равенства следующих интегралов:
$ \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)} \cos x dx = \frac k m \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)}dx $
Доказать это равенство у меня не получается.
Есть идеи?

[TOTAL]

Alhimik в сообщении #226282 писал(а):

Есть идеи?

Найдите производную от $\sin {(m \sin x - kx)}.$ Хорошая идея?

[Alhimik]

Идея ну просто замечательная.
$ \frac d {dx} \left [ \sin {(m \sin x - kx )} \right ] = m \cos {(m \sin x - kx)} \cos x - k \cos {(m \sin x - kx)} $
Из чего следует, что
$ \sin {(m \sin x -kx)} |_0^{\pi}=m \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx)} \cos x dx - k \int\limits_0^{\pi} \cos {(m \sin x - kx )}dx $
В левой части - 0, осталось только разнести по сторонам и поделить на m.
Спасибо большое.