при каком условии интеграл является рациональной функцией

[vanja]

Ребята,помогите,пожалуйста,уже весь извелся не могу решить(
Задание: При каком условии
\int_(\frac{\alpha x^2+\beta x+\gamma}{ax^2+bx+c)^2}dx
является рациональной функцией????

[Gordmit]

См. метод Остроградского. Достаточно, чтобы в нуль обратились коэффициенты в интеграле в правой части, отсюда и получите условие.

[vanja]

должно выглядеть примерно так???
\int\frac{\alpha x^2+\beta x+\gamma}{(ax^2+bx+c)^2}dx=\frac{mx+n}{ax^2+bx+c}+\int\frac{kx+l}{ax^2+bx+c}dx

[Gordmit]

Да. Теперь выразите коэффициенты $k,l$ через заданные $\alpha,\beta,\gamma,a,b,c$ и приравняйте их к нулю.

[vanja]

могу предположить, что будет выглядеть так:
\alpha x^2+\beta x+\gamma=m(ax^2+bx+c)-(2x+b)(mx+n)+(kx+l)(ax^2+bx+c)
а далее,если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х,получим систему уравнений:
x^3:0=ka
x^2:\alpha=ma-2m+kb+la
x^1:\beta=mb-2n-bm+lb
x^0:\gamma=mc-bn+kc+lc
так?

[Gordmit]

Не совсем. После минуса в правой части равенства должно быть не $2x+b$, а $2ax+b$.

[vanja]

да потерял(
тогда:
x^3:0=ka
x^2:\alpha=ma-2am+kb+la
x^1:\beta=mb-2an-bm+lb
x^0:\gamma=mc-bn+kc+lc
не поможете тогда все-таки выразить эти коэффициенты, а то путаюсь почему-то :\
$k=0$
$a=0$
$\alpha=0$
$\beta=lb$
$\gamma=mc-bn+lc$
а дальше что?

[Gordmit]

Коэффициенты при $x^1$ и $x^0$ снова неверно приравняли. Выпишите аккуратнее.
А затем замечаем, что из первого уравнения следует, что всегда будет $k=0$ (в случае, если $a\neq 0$; случай $a=0$ надо рассмотреть отдельно). Соответственно, в остальных уравнениях множители, содержащие $k$, исчезают. После этого выразить из полученной системы $l$ не составит труда.

[vanja]

$x^1:\beta=mb-2an-bm+kc+bl$
$x^0:\gamma=cm-bn+lc$

если же $k=0$ ,то:
$\alpha=ma-2am+la$
$\beta=mb-2an-bm+bl$
$\gamma=cm-bn+lc$
если правильно все написал, что далее??

[Gordmit]

Ну для начала можно произвести сокращения и привести подобные. Затем решаете систему линейных уравнений (3 уравнения на 3 неизвестные $m,n,l$) и находите из нее $l$.
В данном случае можно даже не решать систему полностью, найти-то только l нужно. Для этого домножаем первое уравнение на $c$, второе - на $-\frac{b}{2}$, и складываем с третьим, умноженным на $a$.

[vanja]

получается:
$\alpha=-ma+la$
$\beta=-2an+bl$
$\gamma=cm-bn+lc$
первое получается:
$\alpha c=-mac+lac$
второе:
$\beta (-\frac{b}{2})=anb-\frac{b^2c}{2}$
третье:
$\gamma a=mac-bna+lac$
я не очень понял как и что с чем складывать :/

[Gordmit]

vanja в сообщении #223762 писал(а):

первое получается:
$\alpha c=-mac+lac$
второе:
$\beta (-\frac{b}{2})=anb-\frac{b^2c}{2}$
третье:
$\gamma a=mac-bna+lac$
я не очень понял как и что с чем складывать :/

Все три эти уравнения сложите. Только во втором опечатка: не $\frac{b^2c}{2}$, а $\frac{b^2l}{2}$!

[vanja]

я честно говоря, уже не очень помню как складывать уравнения, но должно получится что-то вроде этого?
$\alpha c+\gamma a -\frac{\beta b}{2}=2lac-\frac{b^2l}{2}$

[Gordmit]

Ну да. И при каком же теперь условии исходный интеграл будет представлять собой рациональную функцию?

[vanja]

дак должно $l=0$???