2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение18.06.2009, 11:01 
\begin{array}{l}
$$
\displaystyle \sum z^{i-j+2k}=\frac{1+z^2}{(1-z)^2 (1-z^2)},\\
$$
\end{array}
индесы сумммирования пробегают множество $i,j,k \geq 0, $ $i+3(k-j) \geq 0. $

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение18.06.2009, 14:38 
Аватара пользователя
Со вторым тождеством что-то не то.
Правая часть зависит только от $tz^3$, а левая - ещё и от $z$.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение18.06.2009, 16:51 
да, второе тождество я позже подправлю, спасибо..
=========
Второе тождество, имеет вид
$$
\sum z^{2(j-i+2k)+1}=\frac{z}{(1-z^2)^3},
$$
индесы сумммирования пробегают множество $i,j,k \geq 0, $ $i+3(k-j)+1 \geq 0. $

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение19.06.2009, 10:13 
Аватара пользователя
Можно методом производящих функций.
Но сперва надо четко определиться с областью сходимости, где ограничения не только
на z, но и конечно на отношения между i, j, k, когда они пробегают от 0 до бесконечности.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение19.06.2009, 13:07 
Мастак в сообщении #223216 писал(а):
Можно методом производящих функций.
Но сперва надо четко определиться с областью сходимости, где ограничения не только
на z, но и конечно на отношения между i, j, k, когда они пробегают от 0 до бесконечности.


Что именно вы понимаете под методом производящих функций?
==============
Хотя, я кажется понял, наверное это такие манипуляции - непосредственной проверкой можно установить что, если $F(z)$- сумма ряда, то имеет место соотношение
$$
F(z)-2\,z F(z)+2\,{z}^{3}F(z)-{z}^{4}F(z)=1+z^2
$$
откуда все и следует.
==============
Соотношение на индексы суммирования указано явно, этого достаточно. Ряд по $z$ формальный.

Эту сумму можно найти непосредственным суммированим НО у меня таких примеров есть много, поэтому интересует какой-то общий метод подсчета такого вида сумм.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение20.06.2009, 10:02 
Аватара пользователя
Да именно это.
Кажется впервые Эйлер показал эффективность.
А, как говорят и пишут, наиболее лихо Лаплас применял.

Можно разнести индексы по отдельным формальным стеменным рядам, а потом разного рода корректными операциями над формальными стеменными рядами вроде дифференцирования, ... приведят к рядам, суммы которых уже известны, получая уравнение, которое решается явно.

Здесь - накладываю разные отношения между индексами - получаю разные выражения, хотя довольно близкие. ИМХО ограничения между индексами корявы.
P.S. Задачки для 1-2 курсов универов для специальностей, где маткматика продвинутая должна быть.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение20.06.2009, 11:42 
Эти суммы возникли у меня как побочные следствия одной теории. Поскольку раньше ничего подобного не встречал то решил проконсультироваться здесь-вдруг есть общий метод нахождения таких сумм.
А метод производящих функций сложнее чем непосредственное суммирование первоначального ряда.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение20.06.2009, 16:09 
Аватара пользователя
Leox в сообщении #223489 писал(а):
Эти суммы возникли у меня как побочные следствия одной теории. Поскольку раньше ничего подобного не встречал то решил проконсультироваться здесь-вдруг есть общий метод нахождения таких сумм.
А метод производящих функций сложнее чем непосредственное суммирование первоначального ряда.

Любопытно. Хотя если это оригинальное, то не стоит распространяться до публикации в официальных изданиях. Хотя может быть архивы форума могут выступать в роли официального "издания" (те разборки - кто первый).

А метод производящих функций применяется в прикладных вычислениях. Пробую его использовать для решения задач оптимального распределения ресурсов при программировании информационных систем предприятия.

 
 
 
 Re: Как можно доказать следующие тождества?
Сообщение20.06.2009, 22:34 
Первая сумма вычисляется так (как мне подсказали на одном форуме): пусть $Q_3:=\{ i,j,k \geq 0, i+3(k-j) \geq 0 \}.$ Тогда
$$$
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{Q_3} z^{i-j+2k}=\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=j}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} z^{i-j+2k}}_{k \geq j}+\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{j-1} \sum_{i=3(j-k)}^{\infty} z^{i-j+2k}}_{k<j}=\\
\\
\displaystyle =\underbrace{\sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} z^{i+j+2k}}_{\text{ замена  } k \to k+j}+\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=k+1}^{\infty} \sum_{i=3(j-k)}^{\infty} z^{i-j+2k}=\\
\\
\displaystyle =\frac{1}{(1-z)^2 (1-z^2)}+\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{i=3(j+1)}^{\infty} z^{i-j+k-1}}_{j\to j+k+1}=\\
\\
\displaystyle = \frac{1}{(1-z)^2 (1-z^2)}+\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} z^{i+2j+k+2}}_{i\to i+3(j+1)}=\\
\\
\displaystyle =\frac{1}{(1-z)^2 (1-z^2)}+\frac{z^2}{(1-z)^2 (1-z^2)}=\frac{1+z^2}{(1-z)^2 (1-z^2)}
\end{array}
$$$

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group