Задача про мощности множеств

[georgthegreat]

Возникло следующее утверждение: между двумя любыми бесконечными множествами можно вставить третье так, чтобы для их мощностей было выполнено следующее (|m1| < |M| < |m2|, где М - искомое множество). Верно ли это утверждение?

[Hymilev]

я не специалист по теории множеств,но вроде нет
почитайте про континуум-гипотезу

[Сургонт Е Ф]

Между алефом нулевым и алефом первым промежуточных мощностей нет.
Если речь, конечно, о наиболее распространённых теориях множеств. Впрочем, и наименее распространённых, в которых промежуточные мощности существовали бы, я тоже не знаю.

[Hrom]

Hymilev в сообщении #222496 писал(а):

я не специалист по теории множеств,но вроде нет
почитайте про континуум-гипотезу

По моему так же...
Суть КГ в том, что мощность континуума (она же,мощность булеана счётного
множества) равна алеф_1.

В свою очередь, алеф_1 - это не мощность множества подмножеств множества подмножеств счетного множества (булеан булеана счетного множества), это наименьшее
число, большее алеф_0.
В общем же случае алеф_x минимально наибольшее число после алеф_(x-1).
Исходя из этого, поиск бесконечного множества с мощностью большей алеф_Х и меньшей алеф_(х+1) равносилен поиску целого числа между, скажем, двойкой и тройкой...

[мат-ламер]

Посмотрел книгу Львовского по набору. Оказывается $\aleph$ набирается как \aleph.

[OZH]

мат-ламер в сообщении #222701 писал(а):

Посмотрел книгу Львовского по набору. Оказывается $\aleph$ набирается как \aleph.

Вы сделали потрясающее математическое открытие! (Было бы удивительно увидеть у Львовского другую команду, однако, всегда можно ввести свой псевдоним...) Теперь нужно написать подробнейшую статью и тиснуть её в "Успехи математических наук".

P.S. А теперь по существу. Проблема с мощностью, на мой взгляд, заключается в том, что под мощностью понимают класс эквивалентных друг другу множеств. Но это только на бумаге существуют какие-то биекции. На самом деле понятию "количество элементов" более соответствует понятие порядкового типа, а не мощности.

P.P.S. В прошлый раз, попытка прояснить этот вопрос привела к закрытию темы, что, однако, прояснило позицию профессиональных преподавателей математики: то, что выучено, воспринимается как догма. В результате простой вопрос на понимание (с прицелом на объяснение) приводит преподавателя в гнев. Увы.

[AGu]

OZH в сообщении #222707 писал(а):

Проблема с мощностью, на мой взгляд, заключается в том, что [...]

А что случилось с мощностью? У нее какая-то проблема? Печально...

OZH писал(а):

[...] что, однако, прояснило позицию профессиональных преподавателей математики: то, что выучено, воспринимается как догма. В результате простой вопрос на понимание (с прицелом на объяснение) приводит преподавателя в гнев. Увы.

Я преподаватель и я в гневе, ибо, на мой (разумеется, безнадежно косный) взгляд, "количество элементов" никаким боком не зависит от того, в каком порядке эти элементы расставлены. И спорить со мной бесполезно, ибо я преподаватель, а значит, ... ну, вы понимаете.

[bot]

OZH в сообщении #222707 писал(а):

то, что выучено, воспринимается как догма

А то что не выучено оценивается по-другому. Возможно подобный вопрос Вам уже задавали. Возьмём три вполне упорядоченных множества $\omega$ и $1+\omega$ и $\omega+1$. Равномощны ли эти множества?

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #223349 писал(а):

Возьмём три вполне упорядоченных множества $\omega$ и $1+\omega$ и $\omega+1$...

Первые два просто совпадают

[Dan B-Yallay]

А последние два подозрительно похожи

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #223458 писал(а):

Первые два просто совпадают

На это замечание воздержался сразу ответить - вопрос ведь был адресован другому лицу. Как типы совпадают, но в контексте вопроса не типы, а представители типов. Так что не совпадают, но изоморфны, как ЧУМы и тем более при игнорирования порядков.

Dan B-Yallay в сообщении #224144 писал(а):

А последние два подозрительно похожи

Вопрос для OZH сильно упрощается - остаётся понять, как связаны отношения подозрительной похожести и равномощности.

[OZH]

bot в сообщении #224160 писал(а):

На это замечание воздержался сразу ответить - вопрос ведь был адресован другому лицу. Как типы совпадают, но в контексте вопроса не типы, а представители типов. Так что не совпадают, но изоморфны, как ЧУМы и тем более при игнорирования порядков.

Ничего не понимаю!

Мощность (по моему скромному мнению) --- это, фактически, класс эквивалентности множеств, допускающих взаимнооднозначное отображение между собой. Или, что тоже самое, общее свойство всех равномощных (друг другу) множеств: множество считается равным по мощности другому множеству, если между двумя данными множествами имеется взаимнооднозначное отображение.

Если речь идёт о порядковом типе, то надо говорить о классе изоморфных множеств, где под изоморфизмом понимается взаимнооднозначное отображение (!), которое сохраняет порядок, установленный на множествах. Отсюда мораль: два равномощных множества могут иметь различный порядковый тип.

Поэтому о каких "представителях" идёт речь? $\omega$ --- это обозначение для порядкового типа. $1+\omega$ --- это тоже $\omega$, к которому слева приписали некоторое число, например $0$. Но тогда существует биекция вида $0\to1,1\to2,2\to3$, которая, очевидно, сохраняет порядок. Таким образом, мы получаем, что $1+\omega=\omega$, где равенство понимается в смысле изоморфизма. Более общо: $k+\omega=\omega$, где $k$ --- соответствующий (конечный) порядковый тип(!).

А $\omega+1$ --- это другой порядковый тип, поскольку мы не сможем найти биективного отображения, сохраняющего порядок. (В этом случае у множества появляется "последний элемент", которого нет в $\omega$.)

(Это я так, экспромтом. Без подглядывания куда-либо.)

Поэтому получается, что все три указанные множества (точнее, порядковые типы) равномощны, но последний порядковый тип отличается от двух предыдущих, совпадающих между собой.

(Можете сразу ставить двойку и отправлять на осеннюю пересдачу весенней сессии...)))

[ewert]

OZH в сообщении #227104 писал(а):

Мощность (по моему скромному мнению) --- это, фактически, класс эквивалентности множеств,

Понятие "класса эквивалентности" как множества осмысленно только тогда, когда когда отношение эквивалентности задано на некотором конкретном множестве. Множество всех множеств -- конкретным не является. Вообще нигде и никому не является.

[OZH]

Ещё не хватало уйти в "дурную бесконечность" всевозможных аксиоматик! Возможно, придётся...

[Alexey Romanov]

ewert в сообщении #227110 писал(а):

Множество всех множеств -- конкретным не является. Вообще нигде и никому не является.

Есть теория Квайна $NF$, "Новые основания". В последнее время математику в её варианте $NFU$ довольно активно исследуют Форстер и Холмс:
http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html

ewert в сообщении #227110 писал(а):

Понятие "класса эквивалентности" как множества осмысленно только тогда, когда когда отношение эквивалентности задано на некотором конкретном множестве.

Теория отношений эквивалентности на классах (в том числе на собственном классе всех множеств) строится точно также, как и на множествах, и проблем при этом не возникает в любой теории, допускающей собственные классы.