матрицы 2x2

[pph]

Доказать, что множество матриц М размерностью 2х2 с элементами $a, b, c, d ( a^2+b^2=c^2+d^2=1; ac+bd=0) $замкнуто относительно операции умножения матриц и можно так определить унарную операцию перехода к обратной матрице, что М будет группой.

То, что группа замкнута относительно операции умножения доказал, а вот с унарной операцией перехода к обратной матрице проблема. Если в лоб найти обратную матрицу, то получится вот что: $\begin{pmatrix} \frac{d}{ad-cb} & \frac{-b}{ad-cb} \\ \frac{-c}{ad-cb} & \frac{a}{ad-cb} \end{pmatrix}, $ проблема в том, что я не могу доказать что элементы обратной матрице удовлетворяют требованиям, которые предъявлены в условии.

[RIP]

Докажите, что транспонированная матрица будет обратной.

P.S. Такие матрицы обзываются ортогональными.

-- Вт 09.6.2009 06:08:45 --

P.P.S. А если кустарным способом, то можно сделать тригонометрическую подстановку
$a=\cos\alpha, b=\sin\alpha, c=\cos\beta, d=\sin\beta$ (например).

[VAL]

RIP в сообщении #220835 писал(а):

P.S. Такие матрицы обзываются ортогональными.
P.P.S. А если кустарным способом, то можно сделать тригонометрическую подстановку
$a=\cos\alpha, b=\sin\alpha, c=\cos\beta, d=\sin\beta$ (например).

Боюсь, что после такой подстановки свойство ортогональности будет утрачено

[AKM]

VAL в сообщении #220863 писал(а):

Боюсь, что после такой подстановки свойство ортогональности будет утрачено

Дык, может, оно восстановится, когда мы из $ac+bd=0$ сделаем вывод, что $\alpha=\beta+\frac\pi2$?

[TOTAL]

AKM в сообщении #220866 писал(а):

VAL в сообщении #220863 писал(а):

Боюсь, что после такой подстановки свойство ортогональности будет утрачено

Дык, может, оно восстановится, когда мы из $ac+bd=0$ сделаем вывод, что $\alpha=\beta+\frac\pi2$?

Не будем делать этот неверный вывод.

[ewert]

TOTAL в сообщении #220870 писал(а):

Не будем делать этот неверный вывод.

Если неверный, то не будем. Но поскольку этот вывод всё-таки верен, то почему бы его и не сделать?

RIP в сообщении #220835 писал(а):

P.S. Такие матрицы обзываются ортогональными.

Это что, действительно официально так? Даже для комплексных матриц? (Понятно, что от комплексности в аргументации ровным счётом ничего не изменится, но меня интересует именно официальность терминологии.)

[TOTAL]

ewert в сообщении #220873 писал(а):

TOTAL в сообщении #220870 писал(а):

Не будем делать этот неверный вывод.

Если неверный, то не будем. Но поскольку этот вывод всё-таки верен, то почему бы его и не сделать?

Если число четное, то это число равно 8. Тоже верный вывод?

[ewert]

TOTAL в сообщении #220874 писал(а):

Если число четное, то это число равно 8. Тоже верный вывод?

Нет, но верно другое. Если утверждается, что в рамках условий задачи существует некоторое чётное число, то при дополнительных предположениях можно доказать, что это число можно выбрать равным 8.

Тут -- ровно такая ситуация. Фактически RIP утверждал, что такие альфа и бета найдутся. AKM дополнил, что среди них найдётся пара, удовлетворяющая тому самому соотношению. Ну да, найдётся, и вот ровно этот квантор RIP с самого начала и имел в виду.

-------------------------------------------------------------
Я, правда, совершенно непонял вот этой фразы:

pph в сообщении #220834 писал(а):

можно так определить унарную операцию перехода к обратной матрице, что М будет группой.

Что значит "можно определить"?... Она ведь или уже определена -- или не может быть определена в принципе (если бы среди матриц вдруг нечаянно оказались вырожденные). Какая-то корявая формулировка.

[AD]

ewert в сообщении #220878 писал(а):

Что значит "можно определить"?... Она ведь или уже определена -- или не может быть определена в принципе (если бы среди матриц вдруг нечаянно оказались вырожденные). Какая-то корявая формулировка.

Вполне себе нормальная местами. Скажем, чтобы определить группы как многообразие универсальных алгебр, обычно считают взятие обратного элемента отдельной унарной операцией (а единицу - отдельной нуль-арной).
См., например, Куроша.

Но не думаю, что pph имел в виду именно это, так что Вы правы.

[pph]

Проблема в том, что в данном случае знаменатель может принимать нулевое значение. Поэтому не мой подход, не подход, предложенный RIP, здесь применен не может быть

Предложите какую-нибудь новую идею для определения унарной операции перехода к обратной матрице!!!

[ИСН]

Вы просите сделать невозможное.
(И к тому же ненужное, потому что...)

[pph]

Но ведь если ввести ограничения относительно переменных т.е. убрать значения про которых знаменатель будет равным 0, то М не будет являться группой, потому что не для каждого элемента из М можно будет найти обратный!!!

-- Вт июн 09, 2009 18:35:42 --

Или я неправ???

-- Вт июн 09, 2009 18:36:10 --

ИСН в сообщении #220969 писал(а):

Вы просите сделать невозможное.
(И к тому же ненужное, потому что...)

Почему ненужное???

[мат-ламер]

pph. Я в этой ветке не понял ничего. Почему Вы пишете, что у Вас знаменатель обращается в нуль. Знаменатели там в матрице, как определители ортогональной матрицы, равны единице. Проще всего представьте элементы Вашей матрицы через синусы и косинусы одного угла. В любом учебнике по линейной алгебре (например, Гельфанда) можете прочитать про свойства ортогональных матриц.

[pph]

мат-ламер в сообщении #220986 писал(а):

pph. Я в этой ветке не понял ничего. Почему Вы пишете, что у Вас знаменатель обращается в нуль. Знаменатели там в матрице, как определители ортогональной матрицы, равны единице. Проще всего представьте элементы Вашей матрицы через синусы и косинусы одного угла. В любом учебнике по линейной алгебре (например, Гельфанда) можете прочитать про свойства ортогональных матриц.

Вы открыли мне глаза!!! Спасибо огромное!!! Это мне и нужно было!!!

[RIP]

ewert в сообщении #220873 писал(а):

RIP в сообщении #220835 писал(а):

P.S. Такие матрицы обзываются ортогональными.

Это что, действительно официально так? Даже для комплексных матриц? (Понятно, что от комплексности в аргументации ровным счётом ничего не изменится, но меня интересует именно официальность терминологии.)

Мой промах. Я почему-то на автомате подумал, что $a,b,c,d\in\mathbb R$. Тогда синусы-косинусы отпадают. Остаётся первый способ, который годится над любым полем.

-- Вт 09.6.2009 21:14:37 --

Кстати, TOTAL прав. Такой вывод делать нельзя. Т.е. делать-то можно, но он-таки неверен.