2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 07:14 


16/03/07
815
Возникла необходимость провести численное интегрирование функции вида

$$ \int\limits_{x_1}^{x_2} \int\limits_{y_1}^{y_2} \frac {f(x,y)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} dx dy$$

при заданных $ f(x,y), x_1,x_2,y_1,y_2,x_0,y_0$. Предполагается, что $ x_1 \le x_0 \le x_2$ и $ y_1 \le y_0 \le y_2$

Использование обычных квадратурных формул Симпсона, Ромберба и т.п. подобного дает расходимости. Не посоветуете что-нибудь подходящее для такого случая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 07:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
А почему бы не перейти к полярным координатам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 08:05 


16/03/07
815
Да, это первое что приходит в голову. Но у меня довольно сложная область интегрирования (я ее здесь не стал приводить полностью). В полярных координатах она становится слишком сложной. Хотелось бы все эти сложности возложить на компьютер :)

Кроме того, далее мне потребуется рассчитывать интегралы вида

$$ \int \limits_{x_1}^{x_2} \int \limits_{y_1}^{y_2} f(x,y) \exp{\left ( - \frac{a_0}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \right )} dx dy$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 14:48 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
VladTK в сообщении #219780 писал(а):
Но у меня довольно сложная область интегрирования (я ее здесь не стал приводить полностью).

Да ничего там сложного. Вы ведь в любом случае собираетесь интегрировать численно, не так ли?... -- ну так и разбейте Ваш прямоугольник на четыре соотв. сектора. Внутри каждого из секторов квадратурные формулы выписываются вполне очеыидным образом, а границы секторов -- и совсем уж тривиально.

Ежели ж у Вас область более сложная, чем прямоугольник -- так и разбейте её соответственно. В любом варианте: это -- ручная работа, и вряд ли за Вас её кто-то сделает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 15:11 


25/05/09
231
Интеграл по окрестности особенности ведет себя как корень из площади окрестности. Вырезать окрестность, чтобы он не превышал заданной Вам точности.По остальной области будут работать численные методы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 15:21 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Это не так просто. Для достижения разумной точности придётся вырезать шибко уж маленькую окрестность центра. После чего на оставшейся области стандартные методы, да, будут работать, но -- медленно, т.е. потребуется чрезмерное к-во шагов.

Ещё раз повторю. Это (если мы хотим получить разумный результат за разумное время) требует ручной работы, типично -- некоторой замены переменных, и никуды от этого не деться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение05.06.2009, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
2740
Уфа
Можно, конечно, ещё пойти по пути самурая: попробовать самому вывести квадратурную формулу типа Гаусса для $$\int\limits_0^1 \frac{f_y(x)}{\sqrt{x^2+y^2}}\, dx$$ (не очень высокого порядка), затем, проинтегрировав её по $y$, получить искомую кубатурную.
Долог и теоретически труден путь сей, но наградой может оказаться хорошая априорная оценка погрешности... :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение06.06.2009, 09:42 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Хороших априорных оценок погрешности не бывают -- все они на практике не работают да и не нужны, достаточно иметь хороший порядок точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение06.06.2009, 10:48 


25/05/09
231
ewert в сообщении #219838 писал(а):
Это не так просто. Для достижения разумной точности придётся вырезать шибко уж маленькую окрестность центра. После чего на оставшейся области стандартные методы, да, будут работать, но -- медленно, т.е. потребуется чрезмерное к-во шагов.

Ещё раз повторю. Это (если мы хотим получить разумный результат за разумное время) требует ручной работы, типично -- некоторой замены переменных, и никуды от этого не деться.
Так могу улучшить свое предложение. Интеграл по малой круглой r-окрестности точки($x_0, y_0$) заменим не на 0, а на $2*3,1416*r*f(x_0, y_0)$, тогда ошибка, вероятно,не превысит суммы модулей частных производных на площадь окрестности. r можно взять побольше а шагов поменьше. :( :D :? А как пи пишется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 05:31 


16/03/07
815
ewert писал(а):
...ну так и разбейте Ваш прямоугольник на четыре соотв. сектора. Внутри каждого из секторов квадратурные формулы выписываются вполне очеыидным образом, а границы секторов -- и совсем уж тривиально.


$y_1,y_2$ - функции x. Область интегрирования у меня близка к эллипсу.

ewert писал(а):
...В любом варианте: это -- ручная работа, и вряд ли за Вас её кто-то сделает.


Не кто-то, а что-то :)

nn910 писал(а):
...тогда ошибка, вероятно,не превысит суммы модулей частных производных на площадь окрестности. r можно взять побольше а шагов поменьше...


Это интересно, надо попробовать.

nn910 писал(а):
...А как пи пишется?


Так наверное $\pi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 06:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
VladTK в сообщении #220537 писал(а):
Область интегрирования у меня близка к эллипсу.

Тем лучше -- значит, уравнение границы в полярных координатах будет гладким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 08:46 


25/05/09
231
[quote="VladTK в [url=http://dxdy.ru/post220537.html#p220537]сообщении #220537[/urlТак наверное $\pi$[/quote]Урра, спасибо!$\pi$$\pi^3$$\sqrt\pi$А кто не согласен,что$\pi^2=g$в Куршавеле?И как Вы проверяли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 09:10 


16/03/07
815
ewert писал(а):
Тем лучше -- значит, уравнение границы в полярных координатах будет гладким.


При переходе к полярным приходится сразу учитывать сдвиг на $x_0,y_0$. Это делает уравнение даже обычного эллипса сложным.

У меня еще была идея интегрирования по частям...

nn910 писал(а):
...И как Вы проверяли?


Что проверял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 10:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
VladTK в сообщении #220585 писал(а):
Это делает уравнение даже обычного эллипса сложным.

Сложность сама по себе непринципиальна; помешать может лишь неявность выражения радиуса через угол. Ну тогда просто вырежьте кружок с центром в полюсе и посчитайте интеграл по нему отдельно. Только не слишком маленький кружок -- иначе условия для сходимости квадратурных формул на оставшемся участке будут не очень благоприятными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадратурная формула для функции с полюсом...
Сообщение08.06.2009, 11:49 


16/03/07
815
Цитата:
Сложность сама по себе непринципиальна...


Не факт - возникает необходимость в большом количестве лишних телодвижений.

Кроме того, я думал что подобные случаи должны как-то "централизовано" решаться в численных методах. Это я рассчитываю грав.потенциал. А если бы я считал его градиент (а мне это надо!)? Там бы и переход в полярные координаты ничего не дал бы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Toucan, maxal, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group