Норма оператора. Топология.

[Megarovaken]

Здравствуйте
Нужна помощь в решении одной задачки по топологии...
Дано отображение $f\;:\;C[0;1] \to C[0;1]$
$f(x(t)) = x^{3}(t)$
Нужно найти норму $f$ и определить достижим или нет.
$C[0,1]$ - это про-во непрерывных ф-й на $[0,1]$.
Норма в C задана как $\max_{i} |x_{i}|$
Я полагаю, будет что-то типо такого:?
$\|f\|=\sup_{\|x\|=1} \|f(x)\|=\sup_{\max_{t \in [0;1]} |x(t)| = 1} \max_{t \in [0;1]} |x^{3}(t)|$
И получается что норма равна 1?
Спасибо!)

[Хорхе]

Для линейного оператора все правильно.
А вот что такое норма нелинейного оператора?

[Megarovaken]

ммм... проблема в том, что нам не давали понятия нормы линейного и нелинейного оператора, да и собственно просто понятия линейного и нелинейного оператора...) А понятие нормы оператора у нас, это "супремум по еденичной сфере" и все...
как я полагаю оператор линейный если: $f(ax+by)=a\cdot f(x) + b \cdot f(y)$ ? Нелинейный если это не выполняется? В моем случае вроде как линейный...

[ewert]

Megarovaken в сообщении #218808 писал(а):

как я полагаю оператор линейный если: $f(ax+by)=a\cdot f(x) + b \cdot f(y)$ ? Нелинейный если это не выполняется? В моем случае вроде как линейный...

Полагаете правильно, и именно поэтому Ваш оператор нелинеен. А для нелинейного оператора понятие нормы -- вполне бессмысленно; что за дело такому оператору до сферы?...

[Megarovaken]

Спасибо. Пока правда, не могу понять, почему этот оператор нелинеен, но буду думать...)
Т.е получается, что это задание не корректно?...

[ewert]

Получается. Если, конечно, вашему начальству не взбрела в голову блажь определить норму заодно и для нелинейных операторов.

[Megarovaken]

Ясно, спасибо за подсказку

[Бодигрим]

Megarovaken в сообщении #218811 писал(а):

Пока правда, не могу понять, почему этот оператор нелинеен, но буду думать...)

Ну, подставьте в ваше определение линейности, например, $a=2$, $b=0$.