пример неизоморфных групп одного порядка

[nckg]

Здравствуйте! Помогите придумать пример неизоморфных групп одного порядка.
На мой взгляд подходят такие две подгруппы симметричной группы порядка 4!:

(под)Группа $G$ состоит из:
$e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix} $
$a=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix} $
$a^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix} $
$a^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix} $

(под)Группа $H$ состоит из:
$e=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix} $
$b_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix} $
$b_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3\end{pmatrix} $
$b_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix} $

Если бы $G$ и $H$ были изоморфны, то элемент $a$ перешёл бы в какой-то элемент $b_i$
и $a^2$ перешёл бы в $b_i^2=e$ - противоречие.

[vlad239]

Да, годятся. А вообще примеров масса - например $S_3$ и циклическая группа порядка 6. Они различаются абелевостью.

Влад.

[AD]

Ну или совсем уж минималистичный пример - $\mathbb{Z}_4$ и $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2$.

А, ну, собственно, Вы его и привели.

[nckg]

Спасибо! А в качестве примера неизоморфных групп однинаковой мощности наверное $\mathbb R$ и $\mathbb R/\mathbb Z$ подойдут, да?

[AD]

Ну да, вполне. Или - немного минимальнее - $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. Ну или те же самые примеры из первого сообщения - они тоже одинаковой мощности

P.S. Очень бойанистая задачка: подойдут ли $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$?

Но тут решение куда сложнее и ненагляднее, чем формулировка.

[nckg]

Спасибо! А насчёт мощности я имел в виду бесконечные множества, но Вы это поняли:)
Задачку про $\mathbb R$ и $\mathbb C$ мы, кстати, как-то уже обсуждали:

AD в сообщении #189265 писал(а):

А ваше рассуждение с $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$, кстати, не лишено смысла: только надо рассматривать их не как пространства над $\mathbb{R}$, а как пространства над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел. Тогда они тоже будут бесконечномерными, и там тоже будут континуальные базисы Гамеля, и потому они будут изоморфны. В частности, отсюда следует, что изоморфны аддитивные группы $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$, и это общеизвестно всё.

[AD]

Да? Ну шож поделаешь