Помогите Посчитать интеграл!

[[NoNSeNSe]]

$$\int_0^\infty \frac{\sin (tx)}{1+t^2}dt$$

Интересует не ответ, а то как его считать.
Заранее благодарен!

[Gordmit]

Это стандартный пример на вычисление определенных (несобственных) интегралов с помощью вычетов. См., например, Свешников А.Г., Тихонов А.Н. — Теория функций комплексной переменной или Маркушевич А. И. — Краткий курс теории аналитических функций.

[AKM]

AKM:

[NoNSeNSe],
такой формат на форуме неприемлем.
Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Код: $$\int_0^\infty \frac{\sin (tx)}{1+t^2}dt$$.

[[NoNSeNSe]]

Я уже пересмотрел несколько книг по теории функции комплексной переменной (те что вы посоветовали тоже), увидел там только пример

$$\int_0^\infty \frac{\cos (tx)}{1+t^2}dt$$

так как функция cos парная, то он легко считается, а вот с синуом мне не понятно что делать.

[Someone]

[NoNSeNSe] в сообщении #217988 писал(а):

Я уже пересмотрел несколько книг по теории функции комплексной переменной (те что вы посоветовали тоже), увидел там только пример

$$\int_0^\infty \frac{\cos (tx)}{1+t^2}dt$$

так как функция cos парная, то он легко считается, а вот с синуом мне не понятно что делать.

"Парная" - в смысле "чётная"?

Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. "Наука", Москва, 1976.

Способ вычисления таких интегралов разбирается в § 28, пункт 3.

[ozhigin]

а рассмотреть предел здесь не прокатывает?
ой, понял здесь интеграл в элементарных не берется

[Полосин]

[NoNSeNSe] в сообщении #217959 писал(а):

$$\int_0^\infty \frac{\sin (tx)}{1+t^2}dt$$

Интересует не ответ, а то как его считать.

В элементарных функциях - никак. Можно свести к специальным функциям.

[Gordmit]

(- здесь была неправда -)

[Brukvalub]

Gordmit в сообщении #218152 писал(а):

Зато, зная ответ для интеграла $I(t)$ с косинусом, можно получить ответ для интеграла $J(t)$ с синусом, продифференцировав интеграл с косинусом по параметру $t$

Разве параметр - это t ?

[ewert]

Нельзя -- и после дифференцирования подынтегральная функция нечётной окажется. А как же иначе-то.

(я, естественно, имел в виду дифференцирование интеграла по $x$ -- дифференцировать его по $t$ бессмысленно)

[Gordmit]

Перепутал. Когда писал, думал, что интегралы берутся по $x$, а $t$ параметр: $\int\limits_0^{+\infty}\frac{\sin(tx)}{1+x^2}dx$. Но по сути все остается в силе с заменой $t$ на $x$ и наоборот.

-- Пт май 29, 2009 19:25:40 --

ewert, Вы правы. Чушь я написал.

[ewert]

да не суть -- как буковки друг на дружку не меняй, нечётность останется нечётностью. А ведь именно из-за неё-то и проблемы.

[vlad239]

Но ведь это все сводится к

$$\int_0^\infty \frac{e^{itx}}{1+t^2}dt$$

. Почему бы не взять контур четверть окружности и отрезки по координатным осям? Тогда интеграл по дуге будет мал, интеграл по вертикальному отрезку будет вещественный (там вещественная функция), а нас интересует мнимая часть.
Правда на вертикальном отрезке есть особая точка $i$ и ее придется объезжать с полувычетом... Не сработает?

Влад.

[Gordmit]

vlad239 в сообщении #218207 писал(а):

интеграл по вертикальному отрезку будет вещественный (там вещественная функция), а нас интересует мнимая часть.

Функция-то вещественная будет, да, но $d(iy)=i\,dy$, так что интеграл по вертикальному отрезку (в пределе при $\varepsilon\to 0$, где $\varepsilon$ - радиус полуокружности, которая обходит особенность в точке $i$) будет чисто мнимый:

$$i\left(\mathrm{V.P.}\int\limits_0^\infty\frac{e^{-xy}}{1-y^2}\,dy\right).$$

[Cute]

[NoNSeNSe] в сообщении #217959 писал(а):

$$\int_0^\infty \frac{\sin (tx)}{1+t^2}dt$$

Интересует не ответ, а то как его считать.
Заранее благодарен!

Книгу Свешников А.Г., Тихонов А.Н. — Теория функций комплексной переменной в формате Djvu можно скачать здесь: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.c ... &network=1