выпуклое множество, принадлежность ему

[g-a-m-m-a]

Пусть $X$ - выпуклый компакт.
Его опорная функция $\rho(l\,|X)=\alpha(l).$
Верно ли следующее утверждение

$$x\in X\Leftrightarrow\forall l \:<l,\,x>\leqslant \alpha(l).$$

$\Rightarrow$ понятно, а вот обратно?

[мат-ламер]

Есть теорема, что выпуклое замкнутое множество есть пересечение замкнутых полупространств, его содержащих. По крайней мере, в конечномерном случае похожую теорему видел в Рокафелларе (Выпуклый анализ). В бесконечномерных пространствах для компакта возможно это также справедливо, но это надо проверить.

[g-a-m-m-a]

Нужно как раз для конечномерного случая. Но вот Рокафеллара достаточно проблематично найти((

[мат-ламер]

Посмотрите другие книги по методам оптимизации. Доказательство должно основываться на теореме отделимости выпуклых множеств.

[AD]

Ну теорему об отделимости точки от выпуклого компакта при помощи гиперплоскости Вы знаете? Если да, то и теорема из Рокафеллера очевидна.

[ASA]

g-a-m-m-a в сообщении #217570 писал(а):

Пусть $X$ - выпуклый компакт.
Его опорная функция $\rho(l\,|X)=\alpha(l).$
Верно ли следующее утверждение

$$x\in X\Leftrightarrow\forall l \:<l,\,x>\leqslant \alpha(l).$$

Утверждение верно даже для выпуклого, замкнутого множества $X$ из локально-выпуклого пространства.