Производные функции Гаусса

[Cat]

Здравствуйте, подскажите, как можно показать, что производные функции Гаусса $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$ обладают m нулевыми моментами, то есть $\int \limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)=0\quad \forall m,0\leq m\leq n,n\in N$. Может быть это доказывается по индукции?

[Brukvalub]

Cat в сообщении #217528 писал(а):

Здравствуйте, подскажите, как можно показать, что производные функции Гаусса $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$ обладают m нулевыми моментами, то есть $\int \limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)=0\quad \forall m,0\leq m\leq n,n\in N$. Может быть это доказывается по индукции?

Как можно доказать неверное?

[ИСН]

Исправить формулировку на правильную и многократным интегрированием по частям, видимо.

[Cat]

Правильная формулировка будет такая: $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{d^{n}}{dt^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$, $\int \limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)dt=0\quad \forall m,0\leq m< n,n\in N$?

[Cat]

Хочу доказать это с использование преобразвания Фурье, возник сопуствующий вопрос. Если функция интегрируема, то следует ли из этого, что ее производные тоже будут интегрируемы?

[ewert]

Cat в сообщении #217736 писал(а):

Если функция интегрируема, то следует ли из этого, что ее производные тоже будут интегрируемы?

Вообще говоря нет. Но в данном случае интегралы и от самой функции, и от всех её мыслимых производных сходятся с безумной скоростью. Поэтому все формальные манипуляции корректны.

Только зачем Фурье?...

ИСН в сообщении #217534 писал(а):

многократным интегрированием по частям