2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Производные функции Гаусса
Сообщение27.05.2009, 09:48 
Аватара пользователя
Здравствуйте, подскажите, как можно показать, что производные функции Гаусса $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$ обладают m нулевыми моментами, то есть $\int
\limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)=0\quad \forall m,0\leq m\leq n,n\in N$. Может быть это доказывается по индукции?

 
 
 
 Re: Производные функции Гаусса
Сообщение27.05.2009, 09:55 
Аватара пользователя
Cat в сообщении #217528 писал(а):
Здравствуйте, подскажите, как можно показать, что производные функции Гаусса $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$ обладают m нулевыми моментами, то есть $\int \limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)=0\quad \forall m,0\leq m\leq n,n\in N$. Может быть это доказывается по индукции?
Как можно доказать неверное?

 
 
 
 Re: Производные функции Гаусса
Сообщение27.05.2009, 09:58 
Аватара пользователя
Исправить формулировку на правильную и многократным интегрированием по частям, видимо.

 
 
 
 Re: Производные функции Гаусса
Сообщение27.05.2009, 10:18 
Аватара пользователя
Правильная формулировка будет такая: $g_{n}(t)=(-1)^{n+1}\frac{d^{n}}{dt^{n}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)$, $\int
\limits_{-\infty}^{\infty}t^{m}g_{n}(t)dt=0\quad \forall m,0\leq m< n,n\in N$?

 
 
 
 Re: Производные функции Гаусса
Сообщение28.05.2009, 07:20 
Аватара пользователя
Хочу доказать это с использование преобразвания Фурье, возник сопуствующий вопрос. Если функция интегрируема, то следует ли из этого, что ее производные тоже будут интегрируемы?

 
 
 
 Re: Производные функции Гаусса
Сообщение28.05.2009, 07:43 
Cat в сообщении #217736 писал(а):
Если функция интегрируема, то следует ли из этого, что ее производные тоже будут интегрируемы?

Вообще говоря нет. Но в данном случае интегралы и от самой функции, и от всех её мыслимых производных сходятся с безумной скоростью. Поэтому все формальные манипуляции корректны.

Только зачем Фурье?...

ИСН в сообщении #217534 писал(а):
многократным интегрированием по частям

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group