Найти все значения альфа, при которых функция дифференцируем

[dima91]

Найти все значения $\alpha$, при которых функция дифференцируема в т.$(0;0)$, если $f(0;0)=0$, а при $x^2+y^2\neq 0$ функция $f$ задается формулой $f=|x+y|^{3\alpha}+|y|^{4-\alpha}$

у меня была идея такая взять частные производные и посмотреть на степень, но преподаватель не принял это.
Что делать, или здесь надо с приращением функции что-то делать?

[Brukvalub]

Лучше всего проверять определение дифференцируемости.

[dima91]

необходимо чтобы существовали частные производные в точке?? достаточность (а именно непрерывность их там) нужна?
или вы всё-таки имеете в виду представление приращения?

[Brukvalub]

А каково ОПРЕДЕЛЕНИЕ дифференцируемости?

[dima91]

через приращение!

-- Вт май 26, 2009 23:31:09 --

Значит рассмотрим частные производные, особенно по $y$
Если $3\alpha-1<0$ и $3-\alpha<0$ то частной производной в этой точке существовать не будет.
Я знаю , что ответ $\alpha\in(\frac{1}{3};3)$
Как разузнать всё насчет точек $\frac{1}{3}$ и $3$
да и насчет внутренних есть сомнения

[dima91]

ау

[Brukvalub]

Вы правильно начали решение. Если хотя бы одной из частных производных нет, то дифференцируемости тоже нет. Если же все частные пр. есть, то выписывайте определение дифференцируемости и проверяйте его. Я за Вас этого делать не буду.

[ewert]

dima91 в сообщении #217396 писал(а):

Что делать, или здесь надо с приращением функции что-то делать?

Да, именно исходя из определения -- анализируя соотношения приращений. Задача облегчается тем, что по каждой из независимых переменных $y$ и $t=x+y$ функция является чётной. Поэтому для дифференцируемости в начале координат необходимо, чтобы частные производные по $t$ и по $y$ в этой точке равнялись нулю. Найдите отсюда допустимый диапазон для $\alpha$, а потом уж докажите формально, что для каждого $\alpha$ из этого диапазона дифференциал действительно существует и равен нулю.

[мат-ламер]

dima91. У вас всё верно. Для наглядности (если Вам от этого станет проще) можете ввести линейную замену переменных, так чтобы обе переменных стали независимы. Тогда ясно, что для дифференцируемости в двумерном случае необходимо (а для данной конкретной функции и достаточно) дифференцируемость по каждой переменной. Дифференцируемость для параметра внутри интервала очевидна. А на границе её не будет, хотя бы потому, что функция модуля в нуле не дифференцируема.