Функциональный анализ, представить оператор в виде умножения

[eugene1]

Помогите решить задачу: дан оператор, действующий в $L^2$: $(Af)(x)=\int_{0}^{1} \min(x,t)f(t)dt$. Нужно представить его в виде оператора умножения на независимую переменную и указать меру $\mu$.

[ewert]

А как действует обратный оператор и что есть его область определения (т.е. каковы граничные условия)?...

[Хорхе]

eugene1 в сообщении #215789 писал(а):

указать меру $\mu$.

Первую часть задания я не понял вообще. А что за мера?

[ewert]

Спектральная, надо полагать. В данном случае -- дискретная, составленная из ортопроекторов на собственные функции.

[eugene1]

ewert в сообщении #215891 писал(а):

Спектральная, надо полагать. В данном случае -- дискретная, составленная из ортопроекторов на собственные функции.

Как это можно доказать?
Оператор действует из $L^2([0,1])$ в $L^2([0,1])$

[ewert]

Выпишите в явном виде:

$$g=Af \quad \Longleftrightarrow \quad g(x)=\int_0^xt\,f(t)\,dt+\int_x^1x\,f(t)\,dt.$$

Потом пару раз продифференцируйте и приглядитесь ко всем трём строчкам. Выяснится, что обратный оператор -- это простенький оператор Штурма-Лиувилля с условием Дирихле на левом конце и условием Неймана на правом. Ну а уж для него-то со спектральным разложением всё ясно.

[eugene1]

спасибо!