2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функциональный анализ, представить оператор в виде умножения
Сообщение21.05.2009, 13:45 
Помогите решить задачу: дан оператор, действующий в $L^2$: $(Af)(x)=\int_{0}^{1} \min(x,t)f(t)dt$. Нужно представить его в виде оператора умножения на независимую переменную и указать меру $\mu$.

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение21.05.2009, 13:51 
А как действует обратный оператор и что есть его область определения (т.е. каковы граничные условия)?...

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение21.05.2009, 16:33 
Аватара пользователя
eugene1 в сообщении #215789 писал(а):
указать меру $\mu$.

Первую часть задания я не понял вообще. А что за мера?

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение21.05.2009, 17:08 
Спектральная, надо полагать. В данном случае -- дискретная, составленная из ортопроекторов на собственные функции.

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение21.05.2009, 21:19 
ewert в сообщении #215891 писал(а):
Спектральная, надо полагать. В данном случае -- дискретная, составленная из ортопроекторов на собственные функции.

Как это можно доказать?
Оператор действует из $L^2([0,1])$ в $L^2([0,1])$

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение21.05.2009, 21:27 
Выпишите в явном виде:

$$g=Af \quad \Longleftrightarrow \quad g(x)=\int_0^xt\,f(t)\,dt+\int_x^1x\,f(t)\,dt.$$

Потом пару раз продифференцируйте и приглядитесь ко всем трём строчкам. Выяснится, что обратный оператор -- это простенький оператор Штурма-Лиувилля с условием Дирихле на левом конце и условием Неймана на правом. Ну а уж для него-то со спектральным разложением всё ясно.

 
 
 
 Re: Функциональный анализ
Сообщение22.05.2009, 10:56 
спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group