Отрезок минимальной длины.

[e7e5]

"Для точки внутри угла найти отрезок минимальной длины, заключённый внутри угла и содержащий данную точку."

PS. доп. пояснение-пример.
Если угол прямой, то
$D_{min}^2=\left(x_0^{2/3}+y_0^{2/3}\right)^3$.

[Алексей К.]

Сформулировано плохо.
За что одну из сторон угла обозвали "полуосью" и столь громоздко баптизировали?
Теперь надо подозревать, что мы сидим в косоугольной системе координат?
Какая, вообще-то, разница, острый угол или тупой?
При чём здесь пучки прямых?

Цитата:

Для точки внутри угла найти отрезок минимальной длины, заключённый внутри угла и содержащий данную точку.

Решатель (видимо, Вы) сам совместит вершину угла с началом координат, и т.д. И обозначения навязывать ни к чему.

[e7e5]

Алексей К. писал(а):

Сформулировано плохо.

Есть ли вариант улучшить "подправленное" условие?

[Алексей К.]

Ну, например: в задаче ничего не говорится об огибающих, а в названии темы какие-то огибающие фигурируют.
И вроде как я привёл вариант условия (правда, зачем-то его поместил в безымянную цитату).
И разве можно русским языком отсечь от угла отрезок?

[Yu_K]

http://stratum.ac.ru/textbooks/kgrafic/additional/addit07.html - здесь теорию можно глянуть. Или можно на вольфрамовском сайте
http://mathworld.wolfram.com/EllipseEnvelope.html
http://mathworld.wolfram.com/Envelope.html.
Пример картинки с огибающими семейства окружностей - дым паровоза (движущегося по единичной окружности) уносится ветром http://i047.radikal.ru/0905/77/33b0f8bf724c.gif и мультик http://www.youtube.com/watch?v=Jem-x4p994I.

Поправил немного текст, в связи с замечанием Алексея К., чтоб паровоз ветром не уносило. Хотя раз поменялось название темы и из названия исчезло упоминание огибающих кривых - это можно вообще удалить.

[Алексей К.]

Ну, дальше --- как раньше.
В качестве сторон угла берём ось абсцисс и прямую $y=k_0x$, $k_0=\tg\varphi$.
(А может, симметрией стоит воспользоваться, взяв две прямые $y=\pm x\tg\mu$, $\mu=\varphi/2$.)

Yu_K в сообщении #213434 писал(а):

дым паровоза, который едет по единичной окружности и уносится ветром

Паровоз уносится?

[e7e5]

Алексей К." в сообщении #213444 писал(а):

В качестве сторон угла берём ось абсцисс и прямую $y=k_0x$, $k_0=\tg\varphi$.

Может проще свести к задаче минимизации?
На оси абсцис т. $X_1(a;0)$
на прямой $y=k_0x$ т. $X_2(x_2;b)$, так что

минимизируем
$x_2^2+b^2+a^2-2\sqrt{x_2^2+b^2}a\cos \varphi$ при условии
$\frac {x-a} {x_2-a}=\frac {y} {b}$

[Алексей К.]

Я не понял, что здесь предлагается.
А все способы, по сути эквивалентны.
Разница лишь в том, что какой-то системе координат выкладки окажутся попроще.

[e7e5]

Алексей К." в сообщении #213700 писал(а):

Разница лишь в том, что какой-то системе координат выкладки окажутся попроще.

Вот я и пытаюсь понять, какой метод решения потребует наименьших выкладок?
Или просто взять и начать считать каким-то способом?

[EtCetera]

Вы знаете, эти задачи (задача из этой ветки форума и подобная из предыдущей) напомнили мне классическую "головоломную" задачку про переправу через ров (в вольной постановке):
Некие путешественники нежданно-негаданно оказались перед прямоугольным островом, окруженным рвом, противоположные берега которого также являются прямоугольником, стороны которого параллельны сторонам острова. Ширина рва всюду постоянна (кроме, разумеется, областей около "углов острова"). У путешественников есть две доски, шириной которых можно пренебречь по сравнению с длиной (в математической трактовке это - отрезки). Как путешественникам с их помощью можно попасть на остров? Длина досок и ширина рва известны (но первая величина, разумеется, меньше второй).
Классическое решение подразумевает укладывание одной доски на "стороны" рва вблизи угла острова. Затем на эту доску кладется одним концом вторая доска, другой ее конец укладывается на "угол" острова.
Такие задачки подробно исследовались в одном из номеров "Кванта" еще в начале 70-х гг. (точно не помню в каком). В статье, посвященной этой теме, исследовались и "косоугольные" острова, и рвы с разной шириной (ширина двух "русел", сходящихся в одном "углу" рва, различна).
Конечно, такие задачки немного не совпадают с Вашей задачей по цели, но некоторые элементы решения Вашей задачи в них присутствуют (по крайней мере, при определенных подходах).

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #213702 писал(а):

Или просто взять и начать считать каким-то способом?

Да

e7e5 в сообщении #213702 писал(а):

Вот я и пытаюсь понять, какой метод решения потребует наименьших выкладок?

Тогда надо все перепробовать.

[e7e5]

EtCetera в сообщении #213703 писал(а):

Вы знаете, эти задачи (задача из этой ветки форума и подобная из предыдущей) напомнили мне классическую "головоломную" задачку про переправу через ров (в вольной постановке):
...
Конечно, такие задачки немного не совпадают с Вашей задачей по цели, но некоторые элементы решения Вашей задачи в них присутствуют (по крайней мере, при определенных подходах).

В вольной постановке задача-шутка могла, видно, быть представлена так:

"Группа десантников нежданно-негаданно высадилась на охраняемый полуостров с боевой задачей незаметно выдвигаться в сторону материка. Вскоре выяснилась брешь в системе охраны- локации расположенной по берегам полуострова , позволяющая десанту достичь цели. Оказалось, что нужно двигаться так, чтобы расстояние до каких-то 2-х станций охраны на напротивоположных берегах и лежащих на одной прямой было минимальным. Командиру группы нужно решить, как двигаться к материку. У командира есть карта."
Однако, такую задачу посчитали "надуманной".

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #213830 писал(а):

Однако, такую задачу посчитали "надуманной".

Ну и что? Кто-то посчитал, а Вы себе решайте...

[e7e5]

e7e5 в сообщении #213675 писал(а):

Алексей К." в сообщении #213444 писал(а):

В качестве сторон угла берём ось абсцисс и прямую $y=k_0x$, $k_0=\tg\varphi$.

Может проще свести к задаче минимизации?
На оси абсцис т. $X_1(a;0)$
на прямой $y=k_0x$ т. $X_2(x_2;b)$, так что

минимизируем
$x_2^2+b^2+a^2-2\sqrt{x_2^2+b^2}a\cos \varphi$ при условии
$\frac {x-a} {x_2-a}=\frac {y} {b}$

угол $\varphi$ выражаем через смежный
$ \cos \varphi=\cos (\pi-\gamma)$

$\cos\gamma=\frac {x_2} {\sqrt{x_2^2+b^2}}$

так что нужно минимизировать
$x_2^2+b^2+a^2+2ax_2$.
(на всякий случай проверяем выкладки для прямого угла, когда $x_2=0$
получается, что нужно минимизировать $b^2+a^2$ ).

Далее, чтобы найти минимум выражения методом Лагранжа составим фунцию

$\phi= x_2^2+b^2+a^2+2ax_2+ \lambda (\frac {x-a} {x_2-a}-\frac {y} {b})$
1) Правильно?
2) Частные производные искать по $x_2$, $b$, $a$, $x$? - здесь немного запутался.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #214087 писал(а):

e7e5 в сообщении #213675 писал(а):

Может проще свести к задаче минимизации?

Кого свести? Так мы вроде только минимизацию и обсуждали!
На оси абсцис т. $X_1(a;0)$
на прямой $y=k_0x$ т. $X_2(x_2;b)$, так что

минимизируем
$x_2^2+b^2+a^2-2\sqrt{x_2^2+b^2}a\cos \varphi$ при условии
$\frac {x-a} {x_2-a}=\frac {y} {b}$

Что за новые неописанные переменные?

угол $\varphi$ выражаем через смежный
$ \cos \varphi=\cos (\pi-\gamma)$
ЗАЧЕМ???

$\cos\gamma=\frac {x_2} {\sqrt{x_2^2+b^2}}$

так что нужно минимизировать
$x_2^2+b^2+a^2+2ax_2$.
(на всякий случай проверяем выкладки для прямого угла [ну, одна хорошая мысль промелькнула] , когда $x_2=0$
получается, что нужно минимизировать $b^2+a^2$ ).

Далее, чтобы найти минимум выражения методом Лагранжа составим фунцию

$\phi$(????????)$= x_2^2+b^2+a^2+2ax_2+ \lambda (\frac {x-a} {x_2-a}-\frac {y} {b})$
1) Правильно?
2) Частные производные искать по $x_2$, $b$, $a$, $x$? - здесь немного запутался.

Я тоже, но только я ничего не понимаю.
И зачем-то учить какой-то другой метод не особо хочется (я не сильно любознателен)...


-- 15 май 2009, 15:23 --

Вот как должна формулироваться задача на условный экстремум:

В качестве сторон угла берём ось абсцисс и прямую $y=k_0 x \quad(k_0=\tg\varphi)$.

Выбираем точку $(a,0)$ на оси абсцисс и точку $(b,k_0b)$ на второй стороне.

Варьируя $a$ и $b$, минимизируем квадрат расстояния между точками, т.е. ф-цию $F(a,b)=\ldots$,
при условии, что соединяющая эти точки прямая проходит через фиксированную точку $(x,y)$, т.е. при условии $C(a,b)\equiv\ldots=0$.

Далее, чтобы найти условный минимум $F(a,b)$ методом Лагранжа, составим фунцию
$L(a,b,\lambda)=F(a,b)+\lambda C(a,b)$. И т.д.
(теперь, надеюсь, понятно и какие брать производные)
------------------------------------------------------

Ничего нового мы при этом (по крайней мере, в данном примере) не получим. Выразим из уравнения $C(a,b)=0$, например, $b$ через $a$, подставим в $F(a,b)$, получим стандартную задачку на минимизацию некой фунции одной переменной $F_1(a)$.

-- 15 май 2009, 15:34 --

Yu_K в сообщении #213434 писал(а):

Хотя раз поменялось название темы и из названия исчезло упоминание огибающих кривых - это можно вообще удалить.

Я не виноват, что оно исчезло. А огибающие ещё появятся... возродятся... всё пригодится...