Отрезок минимальной длины.

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #215041 писал(а):

$(x-a)k_0b+y(a-b)=0$

Вот в таком виде (без знаменателя) я Вам и предлагал записать условие $C(a,b)=0$. И по новой записать и продифференцировать $L(a,b,\lambda)$. Всё будет проще...
Что-то смущает?
Тогда предложу формально (в обшем виде) рассмотреть два случая: $C(a,b)\equiv u(a,b)/v(a,b)$ и $C(a,b)\equiv u(a,b)$. Прописать для них $L(a,b,\lambda)$, прописать систему 3-х уравнений, исключить $\lambda$ и убедиться, что в обоих случаях получаем одну и ту же систему для опреденения $(a,b)_{min}$.
Сам, признаться, не делал, но уверен --- полезный экзекрсис.

-- 19 май 2009, 19:52 --

Yu_K в сообщении #215283 писал(а):

В принципе можно получить уравнения - если вести пару ограничений, записать теорему косинусов для двух углов, на которые разбивается большой угол лучом из нуля во внутреннюю точку угла - будет два множителя Лагранжа

Yu_K,
ну не может быть, чтоб такие штуки что-то принципиально меняли. Ну, получил я как-то уравнение: если угол делится той точкой на части $\mu_1,\mu_2$, то отрезок минимальной длины делится той же точкой на части $m_{1,2}$, где $r=m_2/m_1$ определяется из уравнения

$$r^3\sin^2\mu_1-\sin\mu_1\sin\mu_2\cos(\mu_1{+}\mu_2)(r^2+r)-\sin^2\mu_2=0.$$

Сей (непроверенный) результат не показался мне достойным немедленной публикации, и я даже промолчал, когда увидел, как гости складывают на него обглоданные куриные косточки. И даже удалось сейчас списать само уравнение.

Чтобы мы были по-настоящему счастливы, нужно совсем другое.
Нужно перенаправить e7e5 с отрезка минимальной длины на треугольник минимальной площади.
И давно обошлись бы гиперболами, и спали бы спокойно!

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #215307 писал(а):

[Нужно перенаправить e7e5 с отрезка минимальной длины на треугольник минимальной площади.
И давно обошлись бы гиперболами, и спали бы спокойно!

Про треуголник минимальной площади, как геометрически строить мне известно. Во всяком случае есть про него задача 16.15 у В.В Прасолова Задачи по планиметрии часть 2. ( для школьников задачник, наверное всем широко известен). Здесь же в теме про отрезок.

[Yu_K]

А нельзя ли, как то показать, что для произвольной точки внутри угла $(x,y)$ - именно в этой точке, отрезок минимальной длины будет касаться некоторой линии уровня функции $D(x,y)$? Где - $D(x,y)$ - функция для длины минимального отрезка проходящего через $(x,y)$.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #215307 писал(а):

e7e5 в сообщении #215041 писал(а):

$(x-a)k_0b+y(a-b)=0$

Вот в таком виде (без знаменателя) я Вам и предлагал записать условие $C(a,b)=0$. И по новой записать и продифференцировать $L(a,b,\lambda)$. Всё будет проще...
Что-то смущает?

Да, нет, свет отключили.
Если успею общее направление:
находим производные по $a$, $b$, $\lambda$ - снова аккуратно выписываю.
из $L_a'=0$ выражаем $a$
из $L_b'=0$ --- $b$
$a$ и $b$ подставляем в $L_{\labmda}'$, чтобы найти $\lambda$

Зная $\lambda$, $a$ и $b$ , эти значения подставляем в выражение квадрата расстояния для минимального отрезка. Схема такая?

-- Вт май 19, 2009 21:33:26 --

Yu_K в сообщении #215342 писал(а):

А нельзя ли, как то показать, что для произвольной точки внутри угла $(x,y)$ -

Я как раз подумал еще о том, что для заданного угла может есть такие точки, что вся система уравнений легко упроститься ( типа может симметрия какая)?

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #215350 писал(а):

из $L_a'=0$ выражаем $a$
из $L_b'=0$ --- $b$
$a$ и $b$ подставляем в $L_{\labmda}'$, чтобы найти $\lambda$

Зная $\lambda$, $a$ и $b$ , эти значения подставляем в выражение квадрата расстояния для минимального отрезка. Схема такая?

Нет. Подзадача --- решить систему трёх уравнений. И бог с ней, с лямбдой --- найти надо а и б.
И, судя по тому, что лямбда входит только в первые два уравнения, и входит линейно, --- схема решения будет другая.

e7e5 писал(а):

Зная $\lambda$, $a$ и $b$ , эти значения подставляем в выражение квадрата расстояния для минимального отрезка.

Разве лямбда туда входит???

e7e5 писал(а):

Я как раз подумал еще о том, что для заданного угла может есть такие точки, что вся система уравнений легко упроститься ( типа может симметрия какая)?

Ага. Точка на биссектрисе, очевидно. Есть и другие, наверное , но чтобы это было так уж ЛЕГКО... Сумлеваюсь.

-- 20 май 2009, 16:26 --

Yu_K в сообщении #215342 писал(а):

А нельзя ли, как то показать, что для произвольной точки внутри угла $(x,y)$ - именно в этой точке, отрезок минимальной длины будет касаться некоторой линии уровня функции $D(x,y)$? Где - $D(x,y)$ - функция для длины минимального отрезка проходящего через $(x,y)$.

Можно.
Пусть $D(a,b,k)$ --- длина отрезка прямой с угл. коэфф. $k$, проходящей через точку $(a,b)$. $G(a,b,k)\equiv D'_k(a,b,k)$. Ф-ция $K(a,b)$ определяется из условия $G(a,b,K(a,b))=0$ (обратная ф-ция). Неявное уравнение линии уровня (астроиды при $2\mu=\pi/2$) есть $F(a,b)\equiv D(a,b,K(a,b))=\mathrm{const}$. Без привлечения явного вида функций доказываем, что угл. коэфф. касательной к F, а именно $-F'_b/F'_a$, равен $-D'_b/D'_a$ (так, $F'_a=D'_a+D'_k K'_a=D'_a$ итп.). Далее, привлекая явный вид

$$D^2(a,b,k)=4m^2\dfrac{(ka-b)^2(1+k^2)}{(m^2-k^2)^2}\qquad (m=\tg\mu),$$

получаем требуемое.