2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение10.05.2009, 21:07 
Здравствуйте.
Помогите пожалуйста понять, где я ошибаюсь.
Есть теорема
Цитата:
Уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${n+k-1\choose k}$ решений для целых положительных чисел

Пробую проверить
Например беру уравнение $x_1+x_2=k$
По формуле получаю, что число решений = 3.
Если все решения выразить как множество то оно будет выглядеть следующим образом (если я не ошибаюсь)
$(2,0),(0,2),(1,1)$
Видно что в самом деле их 3. Но мне непонятин следующий момент.
Если из определения $\bar C^k_n={n+k-1\choose k}$, то при $C^k_n$ элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент. Из этого следует что множество решений должно быть $(2,0),(1,1)$ равно 2, что противоречит.
Помогите распутаться :)

 
 
 
 
Сообщение10.05.2009, 21:32 
Аватара пользователя
nbyte в сообщении #212540 писал(а):
Если из определения $\bar C^k_n={n+k-1\choose k}$, то при $C^k_n$ элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент.
При чем здесь бузина, если дядька уже в Киеве?

 
 
 
 
Сообщение10.05.2009, 21:47 
Если по другому вопрос поставить, то почему для подсчета не используются повторяющийся размещения? :roll:

 
 
 
 
Сообщение10.05.2009, 21:53 
Аватара пользователя
nbyte в сообщении #212559 писал(а):
Если по другому вопрос поставить, то почему для подсчета не используются повторяющийся размещения?
Давайте поставим вопрос еще чуть иначе: если Вы умеете использовать для такого подсчета
nbyte в сообщении #212559 писал(а):
повторяющийся размещения?
, то покажите здесь как это сделать.

 
 
 
 
Сообщение10.05.2009, 22:02 
Цитата:
Например беру уравнение $x_1+x_2=k$

Я тут опечатку сделал.
Здесь $x_1+x_2=2$
$C^2_3 = 3$

 
 
 
 Re: Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение11.05.2009, 06:40 
nbyte писал(а):
Есть теорема
Цитата:
Уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${n+k-1\choose k}$ решений для целых положительных чисел

Нет такой теоремы. ${n+k-1\choose k}={n+k-1\choose n-1}$ -- это количество неотрицательных решений. А если положительных, то ${k-1\choose n-1}$.

nbyte писал(а):
элементы $(2,0),(0,2)$ означают один элемент.

$x_1=2,\ x_2=0$ -- это совсем другое решение, нежели $x_1=0,\ x_2=2.$

 
 
 
 Re: Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение11.05.2009, 15:50 
А чем отличаются неотрицательные решения от положительных? :roll:

 
 
 
 Re: Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение11.05.2009, 17:10 
У меня в учебнике написано следующие (ну так есть, извините если ерунду говорю)
Цитата:
Если $k \geqslant n$, то уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${k-1\choose n-1}$ число решений для натуральных чисел.

При этом принято считать, что $0 \notin \mathbb{N}$
Тогда выходит, что разница в существовании нуля?

 
 
 
 Re: Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение11.05.2009, 17:26 
Аватара пользователя
nbyte писал(а):
У меня в учебнике написано следующие (ну так есть, извините если ерунду говорю)
Цитата:
Если $k \geqslant n$, то уравнение $x_1+x_2+...+x_n=k$ имеет ${k-1\choose n-1}$ число решений для натуральных чисел.

При этом принято считать, что $0 \notin \mathbb{N}$
Тогда выходит, что разница в существовании нуля?
Вот такая, понимаешь, загогулина: оказывается, ноль не является положительным числом. Более того, он и отрицательным числом не является!

 
 
 
 Re: Комбинаторика, повторяющийся сочетания
Сообщение11.05.2009, 17:32 
Понял. Спасибо :)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group