уравнение на графе

[terminator-II]

Пусть $G$ -- дерево -- связный граф из конечного числа вершин без циклов. Будем рассматривать $G$ как геометрическую фигуру на плоскости (Стандартная картинка, соответствующие вершины соединены отрезками).

Пусть $f:G\to G$ -- непрерывная функция. Доказать, что существует точка $y\in G$ такая, что $f(y)=y$.

[maxal]

Пусть неподвижных точек не существует. Рассмотрим произвольную точку дерева $x_0$ и определим отображение $g:\mathbb{R}^{+}\rightarrow G$ такую, что $g(0)=x_0$ и для всех $t\geq 0$ $|g'(t)|=1$, а направление $g'(t)$ совпадает направлением кратчайшего перемещения из точки $g(t)$ в точку $f(g(t))$ вдоль рёбер дерева $G$. Другими словами, $g$ является движением точки (вдоль $G$) к её образу относительно $f$ с постоянной скоростью.

Нетрудно проверить, что $g$ является непрерывной. Кроме того, индукцией по количеству рёбер в $G$ доказывается, что $g(t)$ разделяет $G$ на две части так, что $f(g(t))$ не имеет возможности покинуть часть, в которой она находится. Отсюда следует, что $g(t)$ инъективна. Таким образом, кривая $g(t)$ представляет собой бесконечную ломанную без самопересечений, вложенную в граф $G$. Но это противоречит конечности длин его рёбер.

[terminator-II]

наверное у Вас все правильно. Я исходил из того, что такой граф является ретрактом круга

[id]

terminator-II
А посмотреть можно?

Только хотел спросить про "алгебраико-топологическое" доказательство, тривиальность фунд. группы дерева пытался как-то привязать.

[Padawan]

Если бы отображение $f$ дерева в себя не имело неподвижной точки, то композиция $fr$, где $r$ - ретракция круга на дерево, также не имело бы неподвижной точке, что противоречит теореме Брауэра.

[id]

А, в самом деле. Спасибо.

[Padawan]

Кстати книгу Alexandroff Hopf Topologie I читали? Она на немецком правда и старая - 1935 года. Мне вот что в предисловии понравилось

Цитата:

Aber keines unter den genannten Büchern behandelt die Topologie als ein Ganzes: vielmehr wird in jedem Buch konsequent nur ein Zweig dieser Wissenschaft dargestellt.

Diese bis jetzt noch fehlende integrale Auffassung der Topologie liegt unserem Buch zugrunde, das drei Bände umfassen soll. Wir wollen weder die mengentheoretische noch die kombinatorische Seite der Topologie bevorzugen. Wir verzichten grundsätzlich auf die Trennung mengentheoretischer und kombinatorischer Methoden; wir betrachten vielmehr die Überwindung dieser Trennung als eine der wichtigsten methodischen Aufgaben, die vor der weiteren Entwicklung der Topologie stehen, und wir wollen zu der Lösung dieser Aufgabe auch in diesem Buche nach Möglichkeit beitragen.

Перевод:

Но ни одна из названных книг не описывает топологию как одно целое: скорее в каждой книге последовательно представляется только одна ветвь этой науки.
Это до сих пор отсутствующая интегральная точка зрения лежит в основе нашей книге, которая должна охватить три тома. Мы не хотим предпочитать ни теоретико-множественную , ни комбинаторную сторону топологии. Мы принципиально отказываемся от разделения теоретико-множественных и комбинаторных методов; скорее мы рассматриваем преодоление этого разделения в качестве одной из важнейших методических задач, которые стоят перед дальнейшим развитием топологии, и мы хотим по возможности способствовать решению этой задачи также и в этой книге.

По-видимому, они только один том написали.

[id]

Кстати, а не следует ли для множеств на плоскости свойство "быть ретрактом круга" из тривиальности $\pi_1$?

[Padawan]

Для линейно-связного компактного множества, Вы, конечно, хотите сказать.

[id]

Ну допустим так.
Для линейно-связных компактов импликация верна?

Если да, то что меняется в случае отказа от связности? ( группа же превращается в прямую сумму...) А от компактности?

[Padawan]

Наверняка верна. Как доказать - не знаю. От линейной связности и компактности нельзя отказаться, так как круг этими свойствами обладает, и при непрерывном отображении они сохраняются.

[id]

У меня, кажется, начинают появляться сомнения в правильности этой импликации. Видел где-то контрпример, который тут может быть уместен:

Рассмотрим график функции $\sin \frac 1 x$ на интервале $(0,1]$, в точке $0$ проведем вертикальный отрезок из предельных точек этого графика. После чего правый конец графика из точки $(1, \sin 1)$ соединим с серединой этого вертикального отрезка $(0,0)$ хорошей кривой ( нарисовано, например, в Комплексном анализе Шабата, том I, пар. 13 "Соответствие границ и принцип симметрии").

В качестве исходного множества будем рассматривать замкнутое множество, ограниченное получившейся "замкнутой кривой".

Не сойдет ли?

[Padawan]

Не понял, а как мы к середине-то доберемся - с отрицательной стороны?

Вроде да, подходит. Так как это пространство не локально связна, а локальная связность при непрерывных отображениях тоже сохраняется (локально связный континуум $\equiv$ непрерывный орбраз отрезка). А фундаментальная группа точно тривиальна?

А фундаментальная группа самой этой кривой тоже тривиальна? Интересно! Вроде замкнутая, а стого конца не подберешься и петлю не замкнешь

[id]

Ну берем за хвостик справа, и тянем снизу к середине отрезка.

По-моему, тривиальна. Хотя мне было бы весьма интересно посмотреть на строгий анализ.

[Padawan]

Естественно возникает новая гипотеза - локально-связный континуум на плоскости, фундаментальная группа которого тривиальна, является ретрактом круга.