уравнение на графе

[id]

Ну для начала не разобрались верно ли то, что выше - контрпример.
А вопрос да, интересный.

[Padawan]

Разобрались! Компакт, линейно-связный, фундаментальная группа тривиальна, ретрактом не является (т.к. не локально связный)

[id]

Надо еще строго доказать, что $\pi_1$ тривиальна. То есть понятно, что "петля не подберется к паталогической части", но это ж на словах.

[Padawan]

Возьмем в качестве контрпримера не замкнутую область, которая этой "кривой" ограничена, а саму "кривую". Зададим на синусоиде функцию, равную длине дуги от точки $(0,0)$ до текущей точки. Петля - компакт, поэтому на ней данная функция будет ограничена, значит "правый хвостик" петли от паталогии на положительном расстоянии, и всю петлю можно стянуть по синусоиде в точку $(0,0)$.

[id]

Ну да, так проще. Браво!

Осталась теперь Ваша гипотеза.

[Padawan]

Немножко мне не нравится моё доказательство. Я пишу, что петля - компакт, и поэтому функция на нем ограничена. Но на "кривой" функция разрывна, поэтому нет гарантии, что она будет непрерывна на петле.

Лучше так:

Обозначим "кривую" через $S$. Пусть $f:[0,1]\to S$, $f(0)=f(1)=(0,0)$ - петля. Предположим, что найдется последовательность точек $(t_n)$ такая, что $f(t_n)$ стремится по синусоиде к вертикальному отрезку. Переходя, если нужно, к подпоследовательность, считаем, что $(t_n)$ сходится, $\displaystile\lim\limits_{n\to\infty}t_n=t_0$. Но тогда найдется последовательность отрезков $[t',t'']$, сходящихся к $t_0$ и таких, что колебание функции $f$ на отрезке $[t',t'']$ $>1/2$. А это противоречит равномерной непрерывности функции $f$ на $[0,1]$.

Значит, в некоторой правой полуокрестности вертикального отрезка нет точек петли.