Минимальный многочлен для рекуррентной последовательности

[AndreyXYZ]

Может ли многочлен $m(x)=x^2+x$ быть минимальным для некоторой рекуррентной последовательности над множеством целых чисел? (Этот многочлен соответствует рекуррентному соотношению $a_{n+2}=-a_{n+1},\,n=0,1,\ldots$) Приведите пример.

[maxal]

Может. Достаточно взять $a_1$ отличным от $-a_0$. Например, последовательность:
$0,1,-1,1,-1,\dots$

[AndreyXYZ]

Каков минимальный многочлен предложенной Вами последовательности, если потребовать, чтобы его свободный член не был равен нулю?

[maxal]

AndreyXYZ
Вы не можете ничего требовать от минимального многочлена фиксированной последовательности, так как он ею определяется однозначно (с точностью до постоянного множителя).

[AndreyXYZ]

Тогда приведите не минимальный многочлен, а аннулирующий многочлен данной последовательности минимальной степени с ненулевым свободным членом.

[maxal]

Аннулирующие многочлены являются кратными минимальному многочлену. Поэтому если минимальный многочлен равен $x^2-x$, то любой аннулирующий многочлен будет кратен $x^2-x$, а значит его свободный член с необходимостью равен 0.