Как продифференцировать?

[rar]

В общем, нужно доказать тождество:

$$\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx\right)_x'=\frac{1}{x}e^x$$

. Ну это понятно, что функция стоящая под знаком интеграла при дифференцировании будет равна функции стоящей справа. Просто интеграл-то определенный. Куда деть приделы интегрирования?

[Brukvalub]

См. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node19.html . Т. 3.12

[RIP]

rar в сообщении #210719 писал(а):

В общем, нужно доказать тождество:

$$\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx\right)_x'=\frac{1}{x}e^x$$

.

Тождество неверное, поскольку (несобственный) интеграл слева не существует (при $x\ne0$). Да и такая запись, когда предел интегрирования обозначается той же буквой, что и переменная интегрирования, неграмотна.

А вообще есть теорема об интегрировании интеграла с переменным верхним пределом. Грубо говоря: если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то функция $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ дифференцируема в точке $x_0$ и $F'(x_0)=f(x_0)$ (конечно, предполагается, что интеграл существует в окрестности точки $x_0$).

[rar]

Посмотрите условие задачи и саму задачу:

Показать, что при любом действительном значении параметра

$$C$$

заданное выражение определяет решение соответствующего дифференциального уравнения:

$$y=x\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx + C\right), xy'-y=xe^x$$

[RIP]

Просто автор задачи не заметил, что интеграл не существует. Бывает.
Просто воспринимайте выражение

$$\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx + C$$

как

$$\int\frac{e^x}x\,dx$$

(что в некотором смысле оправдано, в силу упомянутой выше теоремы).

[rar]

Спасибо.

[ewert]

rar в сообщении #210719 писал(а):

Ну это понятно, что функция стоящая под знаком интеграла при дифференцировании будет равна функции стоящей справа. Просто интеграл-то определенный. Куда деть приделы интегрирования?

Вот. Типичный пример того, как вроде бы безобидная безграмотность записи (одной и той же буквой обозначены и предел, и переменная) ставит человека в тупик.