2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как продифференцировать?
Сообщение04.05.2009, 08:50 
В общем, нужно доказать тождество: $$\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx\right)_x'=\frac{1}{x}e^x$$. Ну это понятно, что функция стоящая под знаком интеграла при дифференцировании будет равна функции стоящей справа. Просто интеграл-то определенный. Куда деть приделы интегрирования?

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 09:16 
Аватара пользователя
См. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/kiselev2/node19.html . Т. 3.12

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 09:17 
Аватара пользователя
rar в сообщении #210719 писал(а):
В общем, нужно доказать тождество: $$\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx\right)_x'=\frac{1}{x}e^x$$.

Тождество неверное, поскольку (несобственный) интеграл слева не существует (при $x\ne0$). Да и такая запись, когда предел интегрирования обозначается той же буквой, что и переменная интегрирования, неграмотна.

А вообще есть теорема об интегрировании интеграла с переменным верхним пределом. Грубо говоря: если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то функция $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ дифференцируема в точке $x_0$ и $F'(x_0)=f(x_0)$ (конечно, предполагается, что интеграл существует в окрестности точки $x_0$).

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 09:32 
Посмотрите условие задачи и саму задачу:

Показать, что при любом действительном значении параметра $$C$$ заданное выражение определяет решение соответствующего дифференциального уравнения:
$$y=x\left(\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx + C\right),       xy'-y=xe^x$$

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 09:45 
Аватара пользователя
Просто автор задачи не заметил, что интеграл не существует. Бывает.
Просто воспринимайте выражение
$$\int\limits_0^x\frac{1}{x}e^xdx + C$$
как
$$\int\frac{e^x}x\,dx$$
(что в некотором смысле оправдано, в силу упомянутой выше теоремы).

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 09:49 
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение04.05.2009, 10:58 
rar в сообщении #210719 писал(а):
Ну это понятно, что функция стоящая под знаком интеграла при дифференцировании будет равна функции стоящей справа. Просто интеграл-то определенный. Куда деть приделы интегрирования?

Вот. Типичный пример того, как вроде бы безобидная безграмотность записи (одной и той же буквой обозначены и предел, и переменная) ставит человека в тупик.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group