ЕГЭ, C4: Стереометрия. Сфера, конус

[Ярослав199029]

2005 год

Отрезок PN - диаметр сферы с центром O. Точки M и L лежат на на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Площадь треугольника TNK, где T и K - середины ребер PM и PL соответственно, равна 8. Найдите радиус данной сферы.

2008 год

В конусе с вершиной М радиус основания равен 12. На окружности основания выбраны точки А, В, С так, что углы BMA, AMC, CMB равны 60 градусов каждый. Точка F выбрана на дуге ВС окружности основания конуса, не содержащей точки А так, что V пирамиды MABCF наибольший. Найти расстояние от точки F до плоскости MAB.

Помогите, пожалуйста, с решением.

[Алексей К.]

И как же должны лежать на на сфере точки M и L, чтобы объем пирамиды PNML получился наибольшим?

[ewert]

Алексей К. в сообщении #210396 писал(а):

И как же должны лежать на на сфере точки M и L, чтобы объем пирамиды PNML получился наибольшим?

Да, кстати, а как? доказать. Т.е. ответ-то достаточно очевиден, но насколько подробно его надо обосновывать? Это ведь С4, и его вроде как проверяют.

Это к вапросу об объективности ЕГЭ. Объективность критериев сильно преувеличена, а вот обратная связь с экзаменующимся потеряна напрочь.

[Алексей К.]

Рассмотрите $\triangle PNM$ в качестве основания пирамиды. Как бы нам подвигать точку $M$, чтобы увеличить его площадь и тем самым объём пирамиды? Двигать будем в плоскости того же треугольника, чтобы высота пирамиды не менялась.

Добавлено спустя 1 минуту 7 секунд:

ewert, я не знаю, что такое С4...

[ewert]

Да, это доказательство (в смысле намёк на). Но я немножко о другом спрашивал. Очевидно, что второе ребро должно быть перпендикулярно и "симметрично" первому. Настолько очевидно, что вопрос: если отвечающий для начала ограничится такой фразой и пойдёт дальше -- сколько баллов ему срежут?

[ShMaxG]

Может быть так: выделяем произвольную (ввиду симметрии) экваториальную окружность, проходящую через точки P и N. Точку L выбираем на ней так, чтобы площадь треугольника PNL была наибольшей (при фиксированном расстоянии PN максимальность площади будет достигаться т.и т.т., к. высота из точки L на PN будет наибольшей, при этом NL=PL). В силу возможности независимости выбора точек M и L на сфере, максимальность соответствующей пирамиды достигается т. и т.т., к. площадь основания максимальна и высота пирамиды максимальна, т.е. когда точка M больше всего удалена от плоскости PNL, т.е. когда MO перпендикулярен плоскости PNL.

Я думаю, проверяющих это вполне устроит

[Алексей К.]

ewert,
после того, как положение точек M и L на той большой окружности будет установлено, я бы рассмотрел пирамиду как две склеенные симметричные пирамидки $POML$ и $NOML$ и задался бы вопросом: в каком случае площадь их общего основания, треугольника $OML$, будет наибольшей?

Мне такие рассуждения кажутся легко (по-школьному) доказабельными.

[ewert]

ShMaxG в сообщении #210408 писал(а):

Может быть так: выделяем произвольную (ввиду симметрии) экваториальную окружность, проходящую через точки P и N. Точку L выбираем на ней так, чтобы площадь треугольника PNL была наибольшей (при фиксированном расстоянии PN максимальность площади будет достигаться т.и т.т., к. высота из точки L на PN будет наибольшей, при этом NL=PL). В силу возможности независимости выбора точек M и L на сфере, максимальность соответствующей пирамиды достигается т. и т.т., к. площадь основания максимальна и высота пирамиды максимальна, т.е. когда точка M больше всего удалена от плоскости PNL, т.е. когда MO перпендикулярен плоскости PNL.

Ну это примерно то же, что Алексей К. и писал, только у него короче и осознаннее. При фиксированном $L$ треугольник $MNK$ должен быть равнобедренным, а в силу симметрии -- и наоборот.

Алексей К. в сообщении #210410 писал(а):

после того, как положение точек M и L на той большой окружности будет установлено, я бы рассмотрел пирамиду как две склеенные симметричные пирамидки

Ну это-то понятно, вопрос был, как добраться но симметрии, чтоб по ушам от проверяющих не схлопотать.

[Ярослав199029]

Рисунок примерно вот такой.



Только мысленно заменим C и D на M и L, а AB на PN.

[Алексей К.]

Алексей К. в сообщении #210402 писал(а):

я не знаю, что такое С4...

Ну расскажите, подсовременьте меня, плз...

[Ярослав199029]

Алексей К. писал(а):

Алексей К. в сообщении #210402 писал(а):

я не знаю, что такое С4...

Ну расскажите, подсовременьте меня, плз...

C-часть ЕГЭ. Геометрическая задача.

[Алексей К.]

Ярослав199029 в сообщении #210414 писал(а):

Рисунок примерно вот такой.

А Вы бы порешали. Мы уж столько наподсказывали, что модератор вот-вот будет грозить пальчиком. Хорошо, что он картошку сажать уехал.

[Батороев]

Как мне кажется, объяснение довольно простое.
Максимум объема достигается при максимальной высоте пирамиды и максимальной площади ее основания.
Максимум высоты достигается при $R$.
Максимум площади основания - при максимуме высоты треугольника, т.е. тоже $R$.

[Ярослав199029]

Алексей К. писал(а):

Ярослав199029 в сообщении #210414 писал(а):

Рисунок примерно вот такой.

А Вы бы порешали. Мы уж столько наподсказывали, что модератор вот-вот будет грозить пальчиком. Хорошо, что он картошку сажать уехал.

Спасибо за подсказки. Вот, мозгую сейчас. А треугольник TNK будет прямоугольным?

[ewert]

Ярослав199029 в сообщении #210431 писал(а):

А треугольник TNK будет прямоугольным?

Нет, конечно.