А как решать такое?

[Nxx]

А чему равно это:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_a^{(n-1)}(0)}{n!}\sum _{k=0}^{n-1} B_k \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)x^{n-k}$$

?

Это и есть F(x,y)?

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

То есть, вот так будет правильно?

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} (B_n(x)-B_n))\right) $$

?
Как теперь правую часть выразить через интеграл или производную? Что получится, если продифференцировать?

Можно ли записать

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \frac1{2\pi}\int \frac{e^{it y}-1}{e^{it}-1}e^{it x}\tilde f(t)dt$$

Со знаками все правильно?

[Gafield]

Что такое $F(x,y)$ определено выше.

Цитата:

Это и есть F(x,y)?

Это $F(0,x)$.

Цитата:

Можно ли записать

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \frac1{2\pi}\int \frac{e^{it y}-1}{e^{it}-1}e^{it x}\tilde f(t)dt$$

Уф.. тогда уж

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \frac1{2\pi}\int \frac{e^{it x}-1}{e^{it}-1}\tilde f(t)dt.$$

Но это все прикидочные соображения. Можно, но только для очень ограниченного класса функций. Нужно, чтобы интеграл сходился. А поскольку знаменатель в некоторых точках обращается в нуль, то надо как-то интерпретировать, например, понимая в каком-то смысле или сдвигая контур интегрирования, если возможно. Функция $e^{-x^2}$, думаю, подойдет. Однако следствие этой формулы

Цитата:

$$\log_a \frac{f'_a(x+1)}{f'_a(0)(\ln a)^{x+1}}-\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} =F(0,x+1)-F(0,x)= f(x)$$

справедливо уже для аналитических функций с радиусом сходимости больше единицы (конечно, еще предполагается сходимость исходного ряда с многочленами Бернулли). И выводится без этого равенства.

Еще отсюда можно получить формулы для целых $x$. Опять же, думаю, их можно доказать c помощью свойств многочленов Бернулли, не прибегая к интегралам.

[Nxx]

ОК. это все понятно, но вы меня привели к тому, с чего я начинал (это доказывает, что формулы правильные). Но мне нужно двигаться именно в сторону интегралов с целью получить либо интегральное выражение, либо дифур.

Вот, скажем, что будет, если вот это продифференцировать?

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \frac1{2\pi}\int \frac{e^{it x}-1}{e^{it}-1}\tilde f(t)dt.$$

Что означает функция с тильдой вообще? И почему нет пределов интегрирования?

Кстати, вот это получено правильно?

$$\frac{f''(x)-\ln (\ln (a)) f'(x)}{\ln (a) f'(x)}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{B_n(x) f^{(n)}(x)}{n!}$$

если продифференцировать вот это

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f^{(n-1)} (0)}{n!} (B_n(x)-B_n))\right) $$

[maxal]

Nxx в сообщении #210518 писал(а):

Это общее правило или из уравнения для данной конкретной функции?

см. http://mathworld.wolfram.com/Euler-Macl ... mulas.html

[Gafield]

Цитата:

ОК. это все понятно, но вы меня привели к тому, с чего я начинал (это доказывает, что формулы правильные). Но мне нужно двигаться именно в сторону интегралов с целью получить либо интегральное выражение, либо дифур.

Вам, может, понятно, что именно вам понятно, а лично мне нет Я уже говорил, что больше пользы бы принесла формулировка исходной задачи, вдруг ответ на подобный вопрос уже кому-то известен и имеет совсем другой характер, чем вы, возможно, ожидаете. Скажем, сведение к ДУ или интегралу здесь по каким-то причинам маловероятно. А если вы уже использовали формулу суммирования Эйлера, то об этом тоже стоило сказать. Мне как-то неочевидно, что стало проще. К тому же, такое разложение накладывает на функцию требования, которые, возможно, отсутсвуют в начальной постановке.

Продифференцировать можно как обычно дифференцируют интеграл по параметру. Но, конечно, надо проверять, что условия соответсвующих теорем выполнены. Или самому доказывать, что для данной функции это корректно.

Было $f^{(n)}(0)$.

Функия $\tilde f$ - преобразование Фурье от $f$. Интегрирование ведется по прямой $\mathbb R$.

[Nxx]

Цитата:

А если вы уже использовали формулу суммирования Эйлера, то об этом тоже стоило сказать.

Нет, не использовал. Использовал формулу Фаулхабера.

[Gafield]

Непонятно. Там целые значения аргумента. А тут вроде нет, поскольку вычисляется производная.

[Nxx]

Gafield писал(а):

Непонятно. Там целые значения аргумента. А тут вроде нет, поскольку вычисляется производная.

Вообще-то, формула Фаулхабера имеет дело с многочленами.

[maxal]

На всякий случай ссылочка на формулу:
http://mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html

Nxx
продемонстрируйте, как именно вы пришли к вашей задаче с помощью формулы Фаулхабера

[Nxx]

Задача - именно то, что в моем сообщении от Вс Май 03, 2009 12:08:42 на 2 странице этого треда. Это окончательная формулировка. Можно, конечно, пытаться упростить в ту сторону, в которую двигалсля Gafield, но я боюсь, что при этом будет существенное расшерение множества возможных решений.

Еще раз прошу уточнить, вот это выражение правильное исходя из этой формулировки?

$$\frac{f''(x)-\ln (\ln (a)) f'(x)}{\ln (a) f'(x)}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{B_n(x) f^{(n)}(x)}{n!}$$

И вот тут я правильно понял пределы интегрирования?

$$\log_a \frac{f'_a(x)}{f'_a(0)(\ln a)^{x}} = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{it x}-1}{e^{it}-1}\tilde f(t)dt.$$

Цитата:

Функция $e^{-x^2}$, думаю, подойдет.

Что имеется в виду?

[Gafield]

Еще раз отвечаю. Справа должно быть $f^n(0)$.

Правильно.

Имеется в виду что, вероятно, для этой функции интергал будет в некотором смысле сходиться, ряд тоже и они будут равны. Вообще-то, я уже спрашивал, в каком смысле тут понимается решение. Если это формальные степенные ряды, то интеграл вряд ли имеет смысл, а если бесконечно дифференцируемые функции, то для них надо обосновывать сходимосить ряда и интеграла. Функция $e^{-x^2}$ - просто пример, когда, я думаю, это возможно.

[Nxx]

Цитата:

Имеется в виду что, вероятно, для этой функции интергал будет в некотором смысле сходиться, ряд тоже и они будут равны.

То есть, для этой функции будет справедливо уравнение

$$\frac{f''(x)-\ln (\ln (a)) f'(x)}{\ln (a) f'(x)}=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{B_n(x) f^{(n)}(0)}{n!}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ (*)}$$

то есть, она отвечает изначальному уравнению?

[Gafield]

Нет. Предполагается, что для $f(x)=e^{-x^2}$ будет верно равенство

$$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{ f^{(n-1)}(0)}{n!}(B_n(x)-1)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{it x}-1}{e^{it}-1}\tilde f(t)dt. $$

[Nxx]

А уравнение (*), выходит, само по себе не решаемо?

[Gafield]

Что значит решаемо?