worm2 писал(а):
Вот, например, утверждение, что бесконечное множество может быть равномощно своей части, для меня никак не менее парадоксально, чем конструкция Банаха-Тарского.
Вот в этом-то и есть часть психологической проблемы. «…бесконечное множество может быть равномощно своей части, для меня никак не менее парадоксально…». Это парадоксально, но легко демонстрируется. А в случае аксиомы выбора результат совпадает с «нашими чаяниями», но, конечно, неочевиден.
worm2 писал(а):
А для конечных множеств аксиома выбора не то, что очевидна, она даже верна (выводится из остальных аксиом).
О каких конечных множествах Вы говорите? Что конечно? Множества, из которых выбирают или совокупность этих множеств? Если множества, из которых выбирают, то это ошибка. Вспомните пример Рассела с носками. Если же Вы имеете в виду совокупность этих множеств, то Вы правы. Но здесь у меня вопрос: как известно, одна из проблем с аксиомой выбора в неконструктивности и как результат мы никогда не уверены, если проведены две выборки, что они совпадут. Но в случае одного, но бесконечного множества аксиома выбора не нужна, а проблема несовпадения остается. Как с этим быть? И второе Френкель пишет, что есть доказательство возможности выбора из одного бесконечного множества единичного множества (конечно, без аксиомы выбора), но не приводит его. Может кто-нибудь расскажет, где посмотреть или приведёт это доказательство?
