Аксиома выбора

[inf76]

ewert писал(а):

AD в сообщении #209852 писал(а):

Ну если их счетное число, то надо просто упорядочивать каждый следующий в два раза быстрее предыдущего

Это противоречит конечности скорости света (ну в смысле скорости распространения любого сигнала).

Извините, что прерываю интересную дискуссию, но кто-нибудь может мне помочь с этим доказательством?

inf76 писал(а):

Френкель пишет, что есть доказательство возможности выбора из одного бесконечного множества единичного множества (конечно, без аксиомы выбора), но не приводит его. Может кто-нибудь расскажет, где посмотреть или приведёт это доказательство?

[Дима Тишков]

Вроде тут проблем нет. Если существует элемент множества, то существует и подмножество, состоящее из этого элемента. Вообще, без проблем можно доказать возможность выбора из любого конечного семейства множеств (непустых и попарно непересекающихся конечно), просто взяв и объединив в множество по одному элементу из каждого. Но в общем случае так делать нельзя, потому что в общем случае из существования элементов не следует существование состоящего из них множества. Например все множества существуют, но не существует множества всех множеств.

[Виктор Викторов]

Существует небольшая (всего 84 страницы) книга Френкеля «Set Theory and Logic» (Теория множеств и логика). К сожалению, книга не издана по-русски (только по-немецки и по-английски). В этой книге, с одной стороны, весьма элементарно, а, с другой стороны, достаточно строго Френкель разбирается с аксиомой выбора. Его идеи сводятся к следующему: «…в структуре логических и математических процедур, которые были обычны и признаны к концу 19го века, не разрешалось использовать бесконечно много шагов в выборе произвольных элементов, не определённых конкретным законом». «…процедур включающих в себя бесконечно много произвольных шагов избегали в прошлом … потому что они считались бессмысленными, а не только неконструктивными.» И далее «Естественно, системы бесконечно многих одновременных соответствий нормальная вещь в математике и [эти системы] даже могут рассматриваться как характеристика математики. Так … функция «наименьшее число множества a» ставит в соответствие каждому непустому множеству положительных целых чисел совершенно определённый элемент этого множества. В таких случаях, встречающихся во всех разделах математики, закон (функция) определяет одновременное соответствие бесконечно многих случаев и [это делается] конструктивным путём». И дальше Френкель, рассматривая конкретные случаи, указывает, что иногда «в нашем распоряжении нет закона выбирающего элементы … и сомнительно, чтобы такой закон существовал».

[ewert]

Есть очень большая разница между бесконечностью вообще и счётной бесконечностью. Счётное количество шагов вычислительной процедуры, конечно, недостижимо, но мы по крайней мере можем к нему сколь угодно приблизиться (и обязаны, кстати, ибо мало-мальски содержательные задачи за конечное количество шагов не решаются). Несчётное количество шагов -- бессмысленно в принципе.

[AGu]

Дима Тишков писал(а):

Вообще, без проблем можно доказать возможность выбора из любого конечного семейства множеств (непустых и попарно непересекающихся конечно), просто взяв и объединив в множество по одному элементу из каждого.

Мне больше нравится версия аксиомы выбора, в которой под "выбором" из семейства $(X_i)_{i\in I}$ понимается не множество, пересекающееся с каждым $X_i$ по одному элементу, а семейство $(x_i)_{i\in I}$ такое, что $x_i\in X_i$ для всех $i\in I$. (В этом случае нет необходимости требовать, чтобы $X_i$ попарно не пересекались.) Но это дело вкуса. И я, собственно, не из-за этого встрял. Тут вот какое дело...

В цитированной выше идее есть некая (чисто формальная) бяка. Доказать-то это можно, но все же не "просто взяв и объединив". При таком лобовом подходе длина доказательства существования выбора будет зависеть от числа членов заданного конечного семейства. (Кстати, я здесь намеренно написал "заданного", ибо для произвольных конечных семейств такой подход вообще не имеет смысла. Но это так, формализаторство.) А доказательство нужно одно, общее для всех конечных семейств сразу.

Так что я все же предлагаю несколько секунд подумать над доказательством того, что "для любого конечного семейства непустых множеств существует выбор". (Да, без аксиомы выбора. И да, это действительно легко.)

[AD]

AGu в сообщении #210168 писал(а):

Мне больше нравится версия аксиомы выбора, в которой ...

То есть "декартово произведение любой системы множеств не пусто"

[AGu]

AD писал(а):

То есть "декартово произведение любой системы множеств не пусто"

Ага. Только... системы непустых множеств...