Сферические случайные блуждания

[beCool]

Задача такая : есть n-мерная сфера радиуса R, берем ее центр и строим n-мерную сферу радиуса E<R с центром в том центре, потом произвольным образом берем точку на границе маленькой сферы(распределение равномерно на границе сферы) и строим с центром в этой точке n-мерную сферу радиуса E и т.д...
Найти матожидание количества шагов до выхода за границу большой сферы.

[maxal]

Это непрерывный вариант случайных блужданий. Расстояние от центра на каждом шаге изменяется на величину равномерно распределенную в отрезке [-E,E].

[Руст]

maxal писал(а):

Это непрерывный вариант случайных блужданий. Расстояние от центра на каждом шаге изменяется на величину равномерно распределенную в отрезке [-E,E].

Тут нет ничего непрерывного. Речь идёт о среднем числа N, когда вектор e(1)+e(2)+...+e(N) имеет длину больше R/E (на самом деле автор не уточнил, как понимать это в случае когда попадаем на границу R считается ли выходом, соответственно в этом случае надо заменить больше или равно). Здесь e(i) случайные векторы единичной длины. В одномерном случае, насколько я помню ответ N=([R/E])^2. Но уже начиная с двухмерных ответ сложнее и вряд ли нужны целочисленные части.

[Руст]

Предполагаю, что ответ $(R/E)^{n+1}$, или это главный член в ответе.

[maxal]

Я был неправ насчет равномерного распределения, но и от размерности здесь ничего не зависит. Нас интересует не столько сам случайный вектор, сколько его проекция на текущий радиус (которая дает приращение расстояния от центра). Поэтому задача равносильна следующей:

Каково ожидаемое число шагов k, при котором |1 + \cos(\alpha_1) + \dots + \cos(\alpha_k)| превысит величину $\frac{R}{E}$, где случайные углы \alpha_1, \dots, \alpha_k равномерно распределены в \left(-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}\right).

[Руст]

Согласен, что от размерности не очень то зависит. От размерности зависит распределение точек конца суммы векторов (убывает соответствующим образом) а мат. ожидание количества шагов необходимых для выхода за R мало зависит так как примерно будет равно R^2 (E я cчитаю равным 1 в дальнейшем). Легко найти сами распределения $f_n(R)$ по рекуренции (по n) и вычислить явно, но лень. Может автор вначале сам попробует это сделать.
Да maxal ваше представление через косинусы ошибочное. Нужно решать по рекуренции, т.е если плотность распределения задана после n го шага, то находим плотность распределения после n+1 го шага так:

$$f_{n+1}(R)=const \int_0^{\pi }f_n(|R-\cos x|)(\sin x)^n dx$$

[Руст]

синус надо было возвести в степень n-1.

[beCool]

Есть подсказка использовать Теорему о среднем из мат-физики..
Теорема такая : если есть гармоническая функция(и удовлетворяющая уравнению Лапласа) в области, то значение этой функции в центре шара(который располагается в области) равно среднему значению ее на границе.

[beCool]

это препод подсказал)

[Руст]

Да это помогает вычислить f(n,R), n>1 как решение дифференциального уравнения:

$$(\frac{\partial ^2}{\partial R^2} +\frac{n-1}{R}\frac{\partial }{\partial R} )(R^{n-1}f_n(R))=0,f_n(0)=f_n(n)=0.$$

[beCool]

Что такое функция f?

[Руст]

Это плотность распределения удаления на расстояние R. Правда я тут несколько запутал с обозначением n для размерности пространства (входит как множитель перед производной n-1) и номер после n -го шага, надо одно из них переобозначать. Ещё в 0 не требуется задавать граничного условия. Тогда решение с точность до постоянного множителя (не играющего роли) плотность распределения равна $f_k(R)=(\frac{k}{R})^{n-2}-1$

[beCool]

Что такое функция f?

[beCool]

Так а мне ведь надо матожидание количества ходов до выхода за границу...и странно, что у вас в формуле нет E.

[Руст]

Я уже нормализовал x=R/E.
Если x не превышает 1 то мат. ожидание равно 1. Иначе считаем:

$$\sum_k kP(R_k>x)\prod_{i=1}^{k-1} P(R_i<x), \ \ \ P(R_i<x)=1,x\le i,$$

$P(R_i <x)=\frac{2n}{n-2} (y^2/2-y^n/n), y=x/i<1$
[math]$P(R_i<x>2 (при n=2 логарифмическая функция).