Сферические случайные блуждания

[maxal]

Не буду обобщать, ограничусь трехмерным случаем. Как известно, площадь поверхности сферы заключенной между двумя параллельными плоскостями зависит только от расстояния между этими плоскостями и не зависит от того, где именно они пересекаются со сферой. Поэтому как я и говорил в первом сообщении, приращение расстояния от центра равномерно распределено в отрезке [-E,E] (вероятность попасть в любой подинтервал I этого отрезка пропорциональна длине I).
Если, следуя обозначениям Рустема, f_n(r) - это плотность распределения расстояние от центра после n-го шага будет, то

$$f_{n+1}(r) = \frac{1}{2E} \int_{-E}^E f_n(|r-t|) dt$$

[beCool]

Руст, не мог ли бы ты поконкретнее объяснить, что ты написал..
что такое Ri, что у тебя означает первая строчка, и почему y<1?
Разъясни решение, плиз.

[Руст]

Вычислили, что вероятность того, что после k -го шага остались в пределах x=R/E (не вылезли за пределы такой сферы) вычисляется по формуле:
$\frac{2n}{n-2}(y^2/-y^n/n),y=x/i$
Вообще то при подсчёте мат.ожидания я неправильно предположил независимыми функции распределения после разного количества шагов. Можно вычислить вероятность выхода за пределы сферы на n -ом шаге. Правда здесь надо учесть, что нужен не просто выход на этом шаге, а то, чтобы это было первым выходом. Надо подумать.

[beCool]

да, задачка не простая..(

[Руст]

Да ещё ваш преподаватель не прав. Дело в том, что функция распределения стремится к гармонической в пределе при увеличении номера k. Например легко вычислить, что:
$f_1(x)=\delta (x-1), f_2(x)=const x^{n-1}(2-x)^{n-1}$ и т.д. При малых k они не дают гармоническую функцию.

[Руст]

в степенях стоит (n-1)/2 а не n -1 (забыл квадратный корень).

[beCool]

в чем он не прав?Я ничего не писал про то, что он сказал!

[beCool]

он сказал, что нужно использовать эту теорему, но ведь не говорил, какую функцию туда сувать!как я понимаю, просто нужно придумать такую функцию!

[maxal]

Руст писал(а):

Например легко вычислить, что:
$f_1(x)=\delta (x-1), f_2(x)=const x^{n-1}(2-x)^{n-1}$ и т.д. При малых k они не дают гармоническую функцию.
в степенях стоит (n-1)/2 а не n -1 (забыл квадратный корень).

То есть в размерности n=3 по-вашему получается f_2(x)=C x (2-x)$ ?
Но это не сходится с численными значениями.

Метод Монте-Карло дал следующие значения вероятности того, что после второго шага расстояние от центра \leq r:
\begin{tabular}{|l|c|} r & Pr(dist $\leq$ r)\\ 0.1 & 0.00\\ 0.2 & 0.01\\ 0.3 & 0.02\\ 0.4 & 0.04\\ 0.5 & 0.06\\ 0.6 & 0.09\\ 0.7 & 0.12\\ 0.8 & 0.16\\ 0.9 & 0.20\\ 1.0 & 0.25\\ 1.1 & 0.30\\ 1.2 & 0.36\\ 1.3 & 0.42\\ 1.4 & 0.49\\ 1.5 & 0.56\\ 1.6 & 0.64\\ 1.7 & 0.72\\ 1.8 & 0.81\\ 1.9 & 0.90\\ 2.0 & 1.00 \end{tabular}
График этой функции является выпуклым на всем отрезке [0,2], в то время как указанная f_2(x) имеет ноль производной при x=1 и поэтому интеграл от нее будет выпуклым на [0,1] и вогнутым на [1,2].

[Руст]

1.Под $f_k(x)$ я обозначал не функцию распределения а плотность, что видно уже по первой дельта функции. А функция распределения $\int_0^x y^{n-1}f_{n-1}(y)dy$ с точностью до постоянного множителя.
2. Гармоническая функция эта функция совпадающая со своим усреднением. Очевидно, что при конечных значениях параметров сама функция плотности распределения не является усреднением самой себя. Усреднение дает функцию распределения следующей функции.
Поэтому, думаю, что надо было оценить матожидание для больших значений x=R/E. Тогда до него можно добраться только зп ещё большее количество шагов, когда и функция плотности распределения с большой точностью гармоническая. Но этот случай рассмотрен в любом учебнике статистической механики под ракурсом броуновского движения.

[beCool]

Да ладно n-мерный случай!Сначала хоть бы решить для 2-х мерного, то есть для окружности..
И я вообще не очень понимаю, зачем рассматривать x=R/E?..

[beCool]

мне же надо найти матожидание количества ходов до выхода центра маленькой окружности за границу большой, то есть R!

[maxal]

beCool писал(а):

И я вообще не очень понимаю, зачем рассматривать x=R/E?..

Мат. ожидание числа шагов для задачи с заданными E, R будет тот же, что и для задачи с E'=1 и R'=R/E.

[maxal]

Руст писал(а):

1.Под $f_k(x)$ я обозначал не функцию распределения а плотность, что видно уже по первой дельта функции. А функция распределения $\int_0^x y^{n-1}f_{n-1}(y)dy$ с точностью до постоянного множителя.

Я говорил про функцию распределения $Pr(dist\leq x)=\int_0^x f_2(y)dy$.
Откуда у тебя взялось y^{n-1} под интегралом?

[Руст]

Да это лишний член, он уже учтён в $f_k(x)$, я машинально включил повторно. Возможно я неправильно считал вторую функцию плотности. Рассуждение было таковым: для первого вектора фиксируем направление (все направления равновероятны), тогда чтобы оказаться на расстоянии x после второго шага угол s между первым и вторым вектором должен удовлетворять условию x=1+cos(s), а вероятность выбора с таким углом пропорционально $(\sin s )^{n-1}$. Выражая sin(s) через x получается выражение $f_2(x)=const*(2x-x^2)^{(n-1)/2}$. Вроде бы верное рассуждение.