У меня есть интегральное уравнение первого рода с ядром типа дельта-функции, есть метод асимптотического разложения интеграла. Цель - разложить интеграл до дифференциалов второго порядка и решить дифференциальное уравнение и сравнить полученный результат с точным решением.
![\[\int\limits_{ - 1}^1 {K(x - y,h)\varphi (x)dx = f(x)} ; - 1 < x < 1, - 1 < y < 1,h \to 0\]](https://dxdy.ru/math/9bc7df7a1ddbf8faf0184ded83f5252382.png "\[\int\limits_{ - 1}^1 {K(x - y,h)\varphi (x)dx = f(x)} ; - 1 < x < 1, - 1 < y < 1,h \to 0\]")
В моем случае берется ядро :
![\[K = \frac{1}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }} = \frac{1}
{h}\omega \left( {\frac{{x - y}}
{h}} \right)\]](https://dxdy.ru/math/eac23b87a6761b8fac940cd9b13d0d9682.png "\[K = \frac{1}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }} = \frac{1}
{h}\omega \left( {\frac{{x - y}}
{h}} \right)\]")
![\[\omega (\xi ) = \frac{1}
{{\sqrt {{\xi ^2} + 1} }}\]](https://dxdy.ru/math/b54b153033566690cbbf38b514826e1582.png "\[\omega (\xi ) = \frac{1}
{{\sqrt {{\xi ^2} + 1} }}\]")
Коэффициенты разложения интеграла определаются формулами:
![\[{a_k} = \overline {\int\limits_{ - \infty }^\infty {} } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi )d\xi \]](https://dxdy.ru/math/090acb9df8ead672d095431c83b2bc7c82.png "\[{a_k} = \overline {\int\limits_{ - \infty }^\infty {} } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi )d\xi \]")
, где черта над интегралом указывает на то, что интеграл берется в смысле главного значения,
![\[\omega (\xi ) = \frac{{{q_2}}}
{{{\xi ^2}}} + \frac{{{q_3}}}
{{{\xi ^3}}} + ... + \frac{{{q_k}}}
{{{\xi ^k}}} + {\omega _k}(\xi )\]](https://dxdy.ru/math/7f9aa9fdad395cc8f1c7e9fd9d2a772582.png "\[\omega (\xi ) = \frac{{{q_2}}}
{{{\xi ^2}}} + \frac{{{q_3}}}
{{{\xi ^3}}} + ... + \frac{{{q_k}}}
{{{\xi ^k}}} + {\omega _k}(\xi )\]")
![\[\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi ) = 0\]](https://dxdy.ru/math/0371b49c46c115e152d0f538115d471082.png "\[\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi ) = 0\]")
Но в этом случае коэффициенты
![\[{a_k}\]](https://dxdy.ru/math/d977bbde13d4bf0019c8b7dffc24da7a82.png "\[{a_k}\]")
получаются бесконечными, поэтому ядро
![\[K\]](https://dxdy.ru/math/b6a6d0ab3a42736cbf6667f7b951d0a482.png "\[K\]")
преобразуем в ядро
![\[{K_1} = \left\{ \begin{gathered}
\frac{1}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }}, - 2 \leqslant x - y \leqslant 2 \hfill \\
\frac{{{e^{ - \alpha ({{(x - y)}^2} - 4)}}}}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }},x - y \leqslant - 2,x - y \geqslant 2,\alpha > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]](https://dxdy.ru/math/2617b6781e30cfb5e5a0c771aaf7efeb82.png "\[{K_1} = \left\{ \begin{gathered}
\frac{1}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }}, - 2 \leqslant x - y \leqslant 2 \hfill \\
\frac{{{e^{ - \alpha ({{(x - y)}^2} - 4)}}}}
{{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }},x - y \leqslant - 2,x - y \geqslant 2,\alpha > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]")
Собственно из этого ядра и получаются первые два интеграла, которые я писал выше.
Третий интеграл - это поиск правой части
![\[{f(x)}\]](https://dxdy.ru/math/9c42097a74e6251a8c3567cfbdecf71182.png "\[{f(x)}\]")
для функции
![\[\sin x\]](https://dxdy.ru/math/244b99a7898f5d5f076c6468dcf658cf82.png "\[\sin x\]")
![\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2}
{h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}}}
{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]](https://dxdy.ru/math/16042eff37b172dae9b05c8385a88e8982.png "\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2}
{h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}}}
{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]")
![\[ - 2 < x < 2\]](https://dxdy.ru/math/0552a7d1cb2d0d3c68ea8a88c070ab0982.png "\[ - 2 < x < 2\]")
![\[0 < h < 1\]](https://dxdy.ru/math/41f4cfd945fe1b12efb797bdc1fdf8e182.png "\[0 < h < 1\]")
![\[\alpha > 1\]](https://dxdy.ru/math/401fed7956cacf9b0ea8a6398d2d167082.png "\[\alpha > 1\]")
![\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2}
{h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}{x^2}}}
{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]](https://dxdy.ru/math/1dc72a48b22e29398a469ba42f09098682.png "\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2}
{h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}{x^2}}}
{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]")
![\[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}}
{{\sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {h^2}} }}} dx\]](https://dxdy.ru/math/89b2f6a90ee289d3dea1f95e91fca86282.png "\[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}}
{{\sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {h^2}} }}} dx\]")
![\[ - 1 < x < 1\]](https://dxdy.ru/math/3bf4f7b95b040d94c372230d45bae85e82.png "\[ - 1 < x < 1\]")
![\[ - 1 < y < 1\]](https://dxdy.ru/math/892494b010b766bbe33a0eef67cb83dd82.png "\[ - 1 < y < 1\]")
![\[\int {\frac{dx}
{{\sqrt {x}}- {^{4}\sqrt {x+1}}} \]](https://dxdy.ru/math/b6466d60238d1d700207b601f2abbe7b82.png "\[\int {\frac{dx}
{{\sqrt {x}}- {^{4}\sqrt {x+1}}} \]")
![\[\int {\frac{4t^{3}dt}
{{\sqrt {t^{4}-1}}- t} \]](https://dxdy.ru/math/d12f60d144a20977cbb0af8ac13d8a5b82.png "\[\int {\frac{4t^{3}dt}
{{\sqrt {t^{4}-1}}- t} \]")
![\[\int {\frac{2zdz}
{z-{^{4}\sqrt {z^{2}+1}}} \]](https://dxdy.ru/math/c193ac273aecc7bcc983f0f2714a21df82.png "\[\int {\frac{2zdz}
{z-{^{4}\sqrt {z^{2}+1}}} \]")
![\[\int {\frac{cos^{3}{z}sin{z}}
{{\sqrt {(cos^{2}{z}-1)(cos^{2}{z}+1)}-cos{z}}} dz\]](https://dxdy.ru/math/056e7ce763458ec1cc018a3a1ec867b782.png "\[\int {\frac{cos^{3}{z}sin{z}}
{{\sqrt {(cos^{2}{z}-1)(cos^{2}{z}+1)}-cos{z}}} dz\]")
